学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2024 年普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学年普通高中学校毕业年级教学质量检测（一）数学（时间（时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分）分）注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1已知抛物线21:2C yx=，则C的准线方程为（）A18x=B18x=C18y=D18y=2已知复数121 iz=+，复数22iz=，则12zz=（）A1 B2 C10 D10 3已知命题():0,elnxpxx+，则（）Ap是假命题，():,0,lnxpxex Bp是假命题，():0,lnxpxex+Cp是真命题，():,0,lnxpxex Dp是真合题，():0,lnxpxex+4已知圆台,O O上下底面圆的半径分别为 1，3，母线长为 4，则该圆台的侧面积为（）A8 B16 C26 D32 5下列不等式成立的是（）A66log 0.5log 0.7 B0.50.60.6log0.5 C65log 0.6log 0.5 D0.6050.60.6 6集校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了 7 名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x（单位：cm)167 173 175 177 178 180 181 体重y（单位：kg)90 54 59 64 67 72 76 由表格制作成如图所示的散点图：学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由最小二乘法计算得到经验回归直线1l的方程为11 yb xa=+，其相关系数为1r；经过残差分析，点()167,90对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的 6 组数据计算得到经验回归直线2l的方程为22yb xa=+，相关系数为2r则下列选项正确的是（）A121212,bb aa rr B121212,bb aa rr的左、右焦点，()12112,FFc P x y=为C右支上一点，1212,FPF PFPF的内切圆的圆心为()22,E xy，半径为r，直线PE与x轴交于点()3,0M x，则下列结论正确的有（）A2xa=B22rcac=+C2132x xx=D若12FPF的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为31+三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知向量,a b 的夹角为6，且2,1ab=，则3ab+=_ 13已知x是第二象限角，若()1cos705x=，则()sin110 x+=_ 14 已知等差数列 na的公差与等比数列 nb的公比相等，且1122341,1,1bababa=，则nb=_；若数列 na和 nb的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列 nc，数列 nc的前n项和为nS，则使得112nnSc+成立的n的最小值为_（第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2222ababc+=（1）求角C的大小；学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）若1,2 cosbcbB=，求ABC的面积 16（本小题满分 15 分）如图，P为圆锥的顶点，AC为圆锥底面的直径，PAC为等边三角形，O是圆锥底面的圆心，ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为2 3，点E为线段PC中点 （1）求证：平面BED 平面ABD；（2）M为底面圆O的劣弧AB上一点，且30ACM=求平面AME与平面PAC夹角的余弦值 17（本小题满分 15 分）已知椭圆()2222:10 xyEabab+=过点81,3，且其离心率为13（1）求椭圆E的方程；（2）过点()1,0的斜率不为零的直线与椭圆E交于,C D两点，,A B分别为椭圆E的左、右顶点 直线AC，BD交于一点,P M为线段PB上一点，满足/OM PA 问OA OM 是否为定值 若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）18（本小题满分 17 分）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得 200 元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果数出向上的面为正面，则获得 300 元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100 元礼券（1）求第一次投掷后，向上的面为正面的概率（2）若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（3）在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适 19（本小题满分 17 分）已知函数()()2,0 xf xeaxa=，（1）若函数()f x有 3 个不同的零点，求a的取值范围；（2）已知()fx为函数()f x的导函数，()fx在R上有极小值 0，对于某点()()()00,P xf xf x在P点的切线方程为()yg x=，若对于x R，都有()()()00 xxf xg x，则称P为好点 求a的值；求所有的好点 1 2 2023023-20242024 年度质量检测（一）年度质量检测（一）数学数学答案答案 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分 1 1-4 BCDB 4 BCDB 5 5-8 CADD8 CADD 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分。
在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多多项符合题目要求项符合题目要求全全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得分，部分选对的得部分部分分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.BC 10.BCD 11 ACD 三、填空题：三、填空题：本题共本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分 12 13 13 2 65 14 2nnb 27 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 5 小题，共小题，共 7 77 7 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题仅提供一种或两种解法的评分细则，其他解法请各校教研组依据本评分标准商讨进行）（解答题仅提供一种或两种解法的评分细则，其他解法请各校教研组依据本评分标准商讨进行）15.（13 分）解：（1）2222ababc，222-2ab cab，222-cos=2ab cCab 2 分 2222abab 3 分 C()0，3=4C 5 分(2)c2bcos B 由正弦定理可得：sin2sincosCBB 7 分 2sinsin2=2CB 8 分 3=4C B(0,4)，2 B(0,2)2=48BB，9 分 3=-848A a=b=1 11 分 ABC的面积为1132sin1 1 sin=2244abC 13分#ABQYqQogCIAAIAAAgCQwWYCgOQkBGCCAoGgFAIMAABCQFABAA=#2 16（15 分）解析：（1）设,AC BD交于F，连接EF 在ABD中，由正弦定理知，24sinBDACRA，2 分在OFB中，sin301OFOB，所以F为OC中点，所以/EF PO，4 分 又PO 平面ABD，所以EF 平面ABD EF 平面BED，因此平面BED 平面ABD 6 分（2）法一：以点F为坐标原点，,FA FB FE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(3,0,0)A，(2,3,0)M，(0,0,3)E，8 分 故(1,3,0)AM ，(3,0,3)AE 9 分 设平面AME的法向量1(,)nx y z 由1100nAMnAE得30330 xyxz 11 分 令3x，解得1(3,1,3)n 12 分#ABQYqQogCIAAIAAAgCQwWYCgOQkBGCCAoGgFAIMAABCQFABAA=#3 平面PAC的法向量2(0,1,0)n 13 分 12113cos,133 1 9n n 因此平面AME与平面PAC夹角的余弦值为1313 15 分 法二：如图所示，过M作MNAC于N，过N作NQAE于Q,连接MQ POABD平面POMN MNAC又,POACOMNPAC 平面8 分 MNAE AENQ又,MNNQNAEMNQ 平面AEMQ AENQ又MQN为二面角MAEC的平面角 9 分 ACO为的直径90AMC 在Rt AMC中，30,=4ACMAC2AMAC Sin ACM 在Rt ANM中，=3,MN11 分 1AN 等边PAC中，E为AC的中点,2AEPC CE 14NQANCEAC1142NQCE 12 分 在Rt MNQ中，tan2 3MNMQNNQ 14 分 13cos13MQN 因此平面AME与平面PAC夹角的余弦值为1313 15 分17（15 分）MNQ#ABQYqQogCIAAIAAAgCQwWYCgOQkBGCCAoGgFAIMAABCQFABAA=#4 解析：（1）因为3ac，222abc，所以22229,8ac bc2 分 又2216419ab，所以2218199cc，解得1c 4 分 所以3,2 2ab，因此椭圆22:198xyE 5 分（2）设直线:1CD xmy，1122(,),(,)C x yD xy，由221981xyxmy得22(89)16640mymy，7 分 1212221664,8989myyy ymm，0，9 分 因为PCACkk，所以1133PPyyxx，同理2233PPyyxx，因此121212121211223(3)(4)43(3)(2)2PPxy xy mymy yyxyxy mymy yy，11 分 由韦达定理知12124()my yyy，所以121121221234()484234()242PPxyyyyyxyyyyy，解得9Px ，13 分 又/OM PA，所以M为PB中点，因此3Mx，(3,)MOMy，故9OA OM 15 分 18.（17 分）设第一次抽到正常硬币为事件 A，抽到双面都印着字的硬币为事件 B，抽到双面都印着花的硬币为事件 C，第一次投掷出正面向上为事件，第二次投掷出正。