中考复习专题三、函数及其应用【近三年江苏省十三大市中考函数及其应用的分值与比率】(仅供参考)年份2011年xx年xx年地区分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市2319.172117.502117.50苏州市2519.233627.693023.08无锡市118.463123.853829.23常州市1815.003023.082924.17镇江市2016.673730.803125.83扬州市2617.333020.002818.67泰州市2516.672214.673926.00南通市4630.672919.334127.33盐城市3120.672718.002818.67淮安市1510.002516.673322.00宿迁市2718.001812.004630.67徐州市2516.673327.502920.71连云港2818.674832.005134.00平均24.6218.9329.7721.7834.1524.45【课标要求】1．探索具体问题中的数量关系和变化规律2．函数(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义．(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例．(3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．(4)能确定函数(尤其是实际问题)中自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值．(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系．(6)结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测．3．一次函数(1)结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式．(2)理解正比例函数的意义及与一次函数的隶属关系．(3)根据已知条件熟练运用待定系数法确定一次函数表达式．(4)会利用描点法画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况)． (5)能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．(6)能运用一次函数解决实际问题．4．反比例函数(1)结合具体情境体会反比例函数意义，归纳反比例函数的一般形式．(2)能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数表达式．(3)能利用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和解析式 (k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况)．(4)能用反比例函数解决某些实际问题．5．二次函数(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式，并体会二次函数意义．(2)会用描点法画出二次函数的图象，能利用函数的图象认识二次函数的性质．(3)会确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴并掌握图象的变化情况．(4)能根据已知条件利用二次函数解析式的三种形式(一般式、顶点式、交点式)通过待定系数法确定函数关系式．(5)能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系．(6)能在实际问题中列出二次函数关系式并运用其性质解决简单的实际问题．(7)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【课时分布】函数部分在第一轮复习时大约需要9课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)．课时数内 容1变量与函数、平面直角坐标系1一次函数的图象和性质1一次函数的应用1反比例函数的图象和性质及应用1二次函数的图象和性质2二次函数的应用2函数单元测试与评析实际问题平面直角坐标系函数一次函数的图象与性质反比例函数图象与性质质二次函数的图象与性质函数的应用变量【知识回顾】1．知识脉络2．基础知识(1)一次函数的函数关系式：y＝kx＋b (k、b是常数，k≠0)(2)一次函数的图象、性质①当b＝0时，是正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)．图象是过原点的一条直线．当k＞0时，图象过第一、第三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过第二、第四象限，y随x的增大而减小．②当b≠0时，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，b)的一条直线．当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．图象经过的象限由k、b的符号决定．(3)反比例函数的解析式： (k≠0)(4)反比例函数的图象、性质：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，当k＞0时，图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．(5)二次函数的解析式① 一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，其中a，b，c是常数．②顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标．③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)是抛物线与x轴的交点坐标．(此解析式不具有一般性，通常将结果化为一般式)(6)二次函数的图象：函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线(7)二次函数的性质：设y＝ax2＋bx＋c (a≠0)①开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．②对称轴：直线．③顶点坐标(，)．④增减性：若a＞0，则当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；若a＜0，则当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小．⑤二次函数最大(小)值：(注意自变量的取值范围)．若a＞0，则当x＝时，y最小值＝．若a＜0，则当x＝时，y最大值＝．3．能力要求xO1-12例1 如图3-1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与轴相交于负半轴．给出四个结论：(1)abc＜0；(2) 2a＋b＞0；(3) a＋c＝1；(4) a＞1．其中正确结论的序号是______．【分析】利用图象的位置可判断a，b，c的符号，结合图象对称轴 的位置，经过的点可推断出正确结论．图3-1【解】由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴ abc＞0.∵ 对称轴在(1，0)的左侧，∴<1，∴ 2a＋b＞0.∵ 图象经过点(－1，2)和点(1，0)，∴∴ a＋c＝1，b＝－1.∴ a＝1－c＞1．∴ 正确的序号为：(2)(3)(4)．【说明】本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c中a，b，c，对称轴的位置与二次函数的图象的关系．通常能够利用函数的图象确定符号的有：a，b，c，b2－4ac，a＋b＋c，a－b＋c，2a＋b等．教师在复习时要加强这一方面的训练．图3-2例2 如图3-2，已知双曲线，经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】(1)把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；(2)先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；(3)根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．【解】(1)∵双曲线经过点D(6，1)，∴，解得k=6.(2)设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=×6•h=12，解得h=4.∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1-4= -3，∴，解得x=2.∴点C的坐标为(-2，-3).设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得.所以，直线CD的解析式为.(3)AB∥CD．理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为(-2，-3)，点D的坐标为(6，1)，∴点A、B的坐标分别为A(-2，0)，B(0，1).设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得.所以，直线AB的解析式为.∵AB、CD的解析式k都等于相等，∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．【说明】本题有机地综合了反比例函数，一次函数及图形面积等知识，其中待定系数法是求函数解析式的常用方法，这是学生必须掌握的．本题将数和形有机地结合在一起，特别第(3)问题既可以从数上着手，也可以从形上着手，可以利用相似证明∠BAE=∠BDE=∠AEC,从而得AB∥CD．亦可通过等积变形及k的几何意义，证明S△ABC=S△AOC== S△BOD =S△ABD从而C、D两点到AB的距离相等，于是AB∥CD.例3 如图3-3-1，菱形ABCD中，∠A=600．点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t s．△APQ的面积s(cm2)与t(s)之间函数关系的图像由图3-3-2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．(1)求点Q运动的速度； (2)求图2中线段FG的函数关系式；(3)问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分，若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．图3-3-2图3-3-1（图1）（图2）【分析】(1)根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S△APQ= ，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；(2)函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P段CD上继续运动的情形．如答图3-3-2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；(3)当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3-3-3所示，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图3-3-4所示，求出t的值．【解】图3-3-4图3-3-3(1)由题意，可知题图3-3-2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．此时如3-3-3图所示：图3-4-2AQ边上的高h=AB•sin60°=6×=.，解得AQ=3cm，∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．(2)由题意，可知图3-3-2中FG段表示点P段CD上运动时的情形．如图3-3-3所示：点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=，∴FG段的函数表达式为：.(3)菱形A。