21世纪七大数学难题——老师们也来试一试最近美国麻州的克雷（Clay）数学讨论所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元以下是这七个难题的精炼推荐 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参与了一个盛大的晚会由于感到局促担心，你想知道这一大厅中是否有你已经熟悉的人你的主子向你提议说，你必定熟悉那位正在甜点盘四周角落的女士罗丝不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发觉你的主子是正确的然而，假如没有这样的默示，你就务必环顾整个大厅，一个个地端详每一个人，看是否有你熟悉的人生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多这是这种一般现象的一个例子与此类似的是，假如某人告知你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应当信任他，但是假如他告知你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器简单验证这是对的不管我们编写程序是否灵活，判定一个答案是可以很快利用内部学问来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作规律和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文考克（StephenCook）于1971年陈述的 “千僖难题”之二： 霍奇（Hodge）猜想 二十世纪的数学家们发觉了讨论繁杂对象的外形的强有力的对策基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的外形经过把维数不断增加的精炼几何营造块粘合在一齐来形成这种技巧是变得如此有用，使得它可以用很多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们讨论中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展不幸的是，在这一推广中，程序的几何动身点变得模糊起来在某种意义下，务必加上某些没有任何几何解释的部件霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特殊圆满的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合 “千僖难题”之三： 庞加莱（Poincare）猜想 假如我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它渐渐移动收缩为一个点另一方面，假如我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有对策把它收缩到一点的我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。
这个问题马上变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗 “千僖难题”之四： 黎曼（Riemann）假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特别性质，例如，2，3，5，7，等等这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用在全部自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规章的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观看到，素数的频率紧密相对于一个细心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s$的性态闻名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的全部有意义的解都在一条直线上这点已经对于开头的1，500，000，000个解验证过证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的很多神秘带来光明 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发觉，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系鉴于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的试验室中所履行的高能试验中得到证明：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理讨论所和筑波不管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。
特殊是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不行见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满足的证明在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与滑腻性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中曲折穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以经过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言固然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍旧极少挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐蔽在纳维叶－斯托克斯方程中的神秘 “千僖难题”之七： 贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的全部整数解的刻画问题着迷欧几里德已经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为繁杂的方程，这就变得极为困难事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不行解的，即，不存在一般的方法来笃定这样的方法是否有一个整数解。
当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s=1四周的性态特殊是，这个好玩的猜想认为，假如z（1）等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反，假如z（1）不等于0，那么只存在有限多个这样的点 4 / 4。