《直线与圆锥曲线的交点(2)》教案◆ 教学目标1.会判断直线与抛物线、双曲线的位置关系．2.利用直线与抛物线、双曲线的位置关系解决问题．◆ 教学重难点◆ 重点：判断直线与抛物线、双曲线的位置关系．难点：利用直线与抛物线、双曲线的位置关系解决问题．◆ 教学过程一、新课导入我们研究过了直线与椭圆的位置关系以及直线与椭圆交点坐标的求法，类比这种方法，我们能研究直线与抛物线、双曲线的位置关系吗？二、新知探究问题１：类比直线与椭圆的位置关系可知直线与抛物线、双曲线有几种位置关系？答案：有三种位置关系，分别为相交、相切、相离．追问：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？答案：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或者重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交．因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．问题２：如何判定直线与抛物线的位置关系？ 答案：设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2pxp>0，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2km-px+m2．(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注意：研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．问题３：如何判定直线与双曲线的位置关系？ 答案：把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1) Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点；Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．(2)当a=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．注意点：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．三 应用举例例1 已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线 C：y2=x有唯一的公共点，求直线l的方程．解：如图(1)当直线l的斜率不存在时，直线l：x=0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1．由方程组y2=xy=kx+1消去y并整理，得k2x2+2k-1x+1=0． (*)①当k2=0时，直线l的方程为y=1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件；②当k2≠0时，方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ=2k-12-4k2=0．解得k=14．此时，方程组有唯一的实数解，符合条件．综上，满足题意的直线l有三条：x=0，y=1，y=14x+1．总结：判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．例2 讨论直线l：y=kx+1与双曲线C：x2-y2=1的公共点的个数．解：联立方程组y=kx+1，x2-y2=1． 消去y，整理得1-k2x2-2kx-2=0 （1）当k=1时，x=-1．（2）当k=-1时，x=1．（3）当k≠±1时，Δ=4k2+81-k2=8-4k2．若Δ>0，则-22．综上，当k<-2或k>2时，直线l与双曲线C没有公共点；当k=±2时，直线l与双曲线C相切于一点；当k=±1时，直线l与双曲线C相交于一点；当-20，解得－60．解得－30⇔直线与双曲线有两个交点；(2)Δ＝0⇔直线与双曲线有一个交点；(3)Δ<0⇔直线与双曲线没有交点．六、布置作业教材第78页练习第1，2，3题．。
