100 个著名初等数学问题个著名初等数学问题 历史和解 历史和解 100 Great Problems of Elementary Mathematics Their History and Solution 德 H 德里 Heinrich D rrie 目录 i 目录目录 算术题 1 第 1 题 阿基米德分牛问题 1 第 2 题 德 梅齐里亚克的砝码问题 3 第 3 题 牛顿的草地与母牛问题 4 第 4 题 贝韦克的七个 7 的问题 5 第 5 题 柯克曼的女学生问题 8 第 6 题 柏努利 欧拉关于装错信封的问题 10 第 7 题 欧拉关于多边形剖分问题 12 第 8 题 鲁卡斯的配偶夫妇问题 15 第 9 题 卡亚姆的二项展开式 19 第 10 题 柯西的平均值定理 21 第 11 题 柏努利幂之和的问题 23 第 12 题 欧拉数 26 第 13 题 牛顿指数级数 29 第 14 题 麦凯特尔对数级数 35 第 15 题 牛顿正弦及余弦级数 38 第 16 题 正割与正切级数的安德烈推导法 41 第 17 题 格雷戈里的反正切级数 44 第 18 题 德布封的针问题 47 第 19 题 费马 欧拉素数定理 50 第 20 题 费马方程 56 第 21 题 费马 高斯不可能性定理 63 第 22 题 二次互反率 68 第 23 题 高斯的代数基本定理 72 第 24 题 斯图谟的根的个数问题 74 第 25 题 阿贝尔不可能性定理 76 第 26 题 赫米特 林德曼超越性定理 83 平面几何题 90 第 27 题 欧拉直线 90 第 28 题 费尔巴哈圆 91 第 29 题 卡斯蒂朗问题 92 第 30 题 马尔法蒂问题 93 第 31 题 蒙日问题 96 第 32 题 阿波洛尼斯相切问题 97 第 33 题 马索若尼圆规问题 100 第 34 题 斯坦纳直尺问题 102 第 35 题 德里安倍立方问题 105 第 36 题 三等分一个角 106 第 37 题 正十七边形 109 第 38 题 阿基米德 值确定法 114 第 39 题 富斯弦切四边形问题 116 第 40 题 测量附题 118 目录 ii 第 41 题 阿尔哈森弹子问题 121 圆锥曲线和摆线题 124 第 42 题 由共轭半径作椭圆 124 第 43 题 在平行四边形内作椭圆 125 第 44 题 由四条切线作抛物线 126 第 45 题 由四点作抛物线 127 第 46 题 由四点作双曲线 130 第 47 题 范 施古登轨迹题 130 第 48 题 卡丹旋轮问题 132 第 49 题 牛顿椭圆问题 132 第 50 题 彭赛列 布里昂匈双曲线问题 133 第 51 题 作为包络的抛物线 134 第 52 题 星形线 135 第 53 题 斯坦纳的三点内摆线 138 第 54 题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆 140 第 55 题 圆锥曲线的曲率 143 第 56 题 阿基米德对抛物线面积的推算 145 第 57 题 推算双曲线的面积 147 第 58 题 求抛物线的长 149 第 59 题 笛沙格同调定理 同调三角形定理 151 第 60 题 斯坦纳的二重元素作图法 154 第 61 题 帕斯卡六边形定理 155 第 62 题 布里昂匈六线形定理 157 第 63 题 笛沙格对合定理 159 第 64 题 由五个元素得到圆锥曲线 163 第 65 题 一条圆锥曲线和一条直线 165 第 66 题 一条圆锥曲线和一定点 165 立体几何题 167 第 67 题 斯坦纳的用平面分割空间 167 第 68 题 欧拉四面体问题 168 第 69 题 偏斜线之间的最短距离 171 第 70 题 四面体的外接球 173 第 71 题 五种正则体 175 第 72 题 正方形作为四边形的一个映像 178 第 73 题 波尔凯 许瓦尔兹定理 180 第 74 题 高斯轴测法基本定理 182 第 75 题 希帕查斯球极平面投影 183 第 76 题 麦卡托投影 185 航海与天文学题 187 第 77 题 航海斜驶线问题 187 第 78 题 海上船位置的确定 188 第 79 题 高斯双高度问题 189 第 80 题 高斯三高度问题 191 第 81 题 刻卜勒方程 193 目录 iii 第 82 题 星落 195 第 83 题 日晷问题 196 第 84 题 日影曲线 198 第 85 题 日食和月食 199 第 86 题 恒星及会合运转周期 202 第 87 题 行星的顺向和逆向运动 203 第 88 题 兰伯特彗星问题 205 极值 208 第 89 题 与欧拉数有关的斯坦纳问题 208 第 90 题 法格乃诺关于高的基点问题 208 第 91 题 费马对托里拆利提出的问题 209 第 92 题 逆风变换航向 210 第 93 题 蜂巢 雷阿乌姆尔问题 212 第 94 题 雷奇奥莫塔努斯的极大值问题 213 第 95 题 金星的最大亮度 215 第 96 题 地球轨道内的彗星 216 第 97 题 最短晨昏蒙影问题 217 第 98 题 斯坦纳椭圆问题 219 第 99 题 斯坦纳的圆问题 221 第 100 题 斯坦纳的球问题 223 算术题 1 算术题算术题 第1题 阿基米德分牛问题 第1题 阿基米德分牛问题 太阳神有一牛群 由白 黑 花 棕四种颜色的公 母牛组成 在公牛中 白牛数多于棕牛数 多出之数相当于黑牛数的 3 1 2 1 黑牛数多于棕牛数 多出之数相当于花牛数的 5 1 4 1 花牛数多于棕牛数 多出之数相当于白牛数的 7 1 6 1 在母牛中 白牛数是全体黑牛数的 4 1 3 1 黑牛数是全体花牛数的 5 1 4 1 花牛数是全 体棕牛数的 6 1 5 1 棕牛数是全体白牛数的 7 1 6 1 问这牛群是怎样组成的 解 解 如果用字母 X Y Z T 分别表示白 黑 花 棕各色的公牛数 用 x y z t 分别表示白 黑 花 棕各色母牛数 则得8个未知数的如下7个方程 1 YTX 6 5 2 ZTY 20 9 3 XTZ 42 13 4 12 7 yYx 5 20 9 zZy 6 30 11 tTz 7 42 13 xXt 由方程 1 2 3 得6X 5Y 6T 20Y 9Z 20T 42Z 13X 42T 以这三个方程 解未知数X Y Z 得 TX 297 742 TY 99 178 TZ 891 1580 因为891和1580没有公因子 T必定是891的某一整倍数 假设为G倍 因此得 I X 2226G Y 1602G Z 1580G T 891G 若将这些值代入方程 4 5 6 7 得下列方程 12x 7y 11214G 20y 9z 14220G 30z 11t 9801G 42t 13x 28938G 解这些方程的四个未知数x y z t 得 II cx 720630G cy 4893246G cz 3515820G ct 549213G 其中 c是素数4657 因为在各式右边G的系数中没有一个可以被c整除 所以G必定是 算术题 2 c的整数倍 G cg 如果把这个G代入 I 和 II 最后可得到下列各关系式 I X 10366482g Y 7460514g Z 7358060g T 4149387g II x 7206360g y 4893246g z 3515820g t 5439213g 这里g可以是任何正整数 所以 本题具有无数组解 若指定g值为1 则得下列最小数值的解 白公牛 10 366 482 白母牛 7 206 360 黑公牛 7 460 514 黑母牛 4 893 246 花公牛 7 358 060 花母牛 3 515 820 棕公牛 4 149 387 棕母牛 5 439 213 史料 史料 如上面解答所示 至少依据目前的概念 分牛问题确切地说不能被认为是个很难 的问题 然而 由于在古代常常把一道难解的题叫做分牛问题或者阿基米德题 特别考虑到 阿基米德 Archimedes 的其它辉煌成就 以及他把这个分牛之题献给古代希腊后期亚历山 大城的天文学家厄拉多塞尼 Eratosehenes 的这一事实 可以设想以上所述及的问题的方 式并不代表阿基米德问题完整和原始的形式 G E 莱辛 Gotthold Ephraim Lessing 于1773年在沃尔芬比特尔图书馆发现一本希腊文 手抄本 其中就有一篇关于该题 更完整 的阐述 该题由22句对偶句组成 或称为韵文 以诗歌形式出现 朋友 请准确无误地数一数太阳神的牛群 要数得十分仔细 如果你自认为还有几分 聪明 多少头牛在西西里岛草地上吃过草 它们分为四群 在那里来往踱步 各群颜色不同 第一群像牛乳那样洁白 第二群闪耀着深乌木般的光泽 第三群毛色棕黄 第四群满身斑斓 每群中公牛数总大大超过母牛 现在 告诉你这些牛群间的比例 白牛数等于棕牛数再加上 黑牛数的三分之一和二分之一 此外 黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一 再加上全部 棕牛 朋友 最后你必须记住 花牛数是白牛数的六分之一加七分之一再加上全部棕色母牛 但是母牛群中 比例却大不相同 白母牛等于黑色公 母牛全部的三分之一加四分之一 而 黑母牛为全部花牛的四分之一加五分之一 这里要注意 每头花母牛和花公牛都要算进去 同样 花母牛的头数是全部棕牛的五分之一加六分之一 最后棕色母牛与全部白牛的六分之 一加七分之一相等 朋友 如果你能确切告诉我 这些膘壮肌肥 毛色各殊的公母牛 一共 多少聚集在那里 这样你才不愧为精通计数 但是你还算不上一个聪明人 除非用我给出的 新数据来回答问题 当所有黑白公牛齐集在一起 就排出一个阵形 纵横相等 辽阔的西西 里原野 布满大量的公牛 当棕色公牛与花公牛在一起 便排成一个三角形 一头公牛站在 三角形顶端 棕色公牛无一头掉队 花公牛也头头在场 这里没有一头牛和他们的毛色不同 如果你把这些条件一一牢记 胸有妙算 朋友 如果你能说出每群牛的组成和头数 那你就 是胜利者 可昂首前进 因为你的声誉将在智慧的世界里永放光芒 然而莱辛对本题是否撰自阿基米德持有异议 内塞尔曼 Nesselmann 法国作家凡 桑 Vincent 英国人R 贝尔 Rouse Ball 以及其他人也都持有异议 另一方面 研究阿基米德的著名权威丹麦人J L 海伯格 J L Heilberg 法国数学 家P 达内瑞 P Tannery 以及克鲁姆比格尔 Krummbiegel 和安姆托尔 Amthor 都 认为这个问题的完整形式应归功于阿基米德 在倒数第七联对偶句中提出的两个条件要求X Y是一个平方数U2 而Z T是一个三 角形数 1 2 1 VV 由此得下列各关系式 8 X Y U2 算术题 3 9 2Z 2T V2 V 如果根据 I 把X Y Z T的数值代入 8 和 9 这两方程变成 3828G U2及4942G V2 V 如果用4a a 3 11 29 957 b及cg分别代3828 4942及G 得 8 U2 4acg 9 V2 V bcg 从而U是2 a和c的整倍数 U 2acu 这样 U2 4a2c2u2 4acg 8 g acu2 若把g的这个数值代入 9 得 V2 V abc2u2或 2V 1 2 4abc2u2 1 若将未知数2V 1用v表示 而且把 4abc2 4 3 11 29 2 7 353 46572 的乘积记为d 最后的方程变为 v2 du2 1 这就是所谓费马 Fermat 方程 可按第19题所述方法求解 然而 因为d的值十分 巨大 解答非常困难 d 410286423278424 即使费马方程关于u和v的最小解答也会导致天文数字 即使将u指定为可以设想的最小数1 在解g时 ac的值为4456749 这样白牛和黑牛 数的和将超过79万亿 可是西西里岛的面积不过2550平方公里 即0 0255万亿平方米 还不到 30 1 万亿平方米 把这么多的牛放牧在这个岛上是不可能的 这和第十七 十。