数学在地图学中的应用钟业勋1,2 胡宝清1 乔俊军3 （1，广西师范学，1a 北部湾环境演变与资源利用教育部重点实验室，1b资源与环境科学学院，南宁，530001；2，广西测绘局，南宁，530023；3，武汉大学测绘学院，武汉，430079）摘要：地图表示对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象，这些表示对象间的数量关系和空间形式的客观在，使以数量关系和空间形式为研究对象的数学，与地图学关系密切本文论述了拓扑学和函数论、几何学、代数学、微积分、图论、集合论、概率论与数理统计、分形几何、模糊数学等在地图学中的应用，并对应用了多种数学工具和数学方法的数理地图学作了简要介绍数学在地图学中的广泛应用说明，数学在促进地图学的发展中发挥着重要作用关键词：数学；拓扑学；代数学；微积分；集合论；地图学；应用数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门学科[1]地图表示和反映的对象是地理空间中的自然现象和社会经济现象，也即是地球上大气圈、水圈、生物圈、岩石圈和土壤圈交互作用的区域内的事物[2]空间地学实体间的数量关系和空间形式的客观存在，决定着数学与地图学之间存在着十分密切的关系。
本文根据数学在地图学中的应用，分别对拓扑学和函数论、几何学、微积分等进行论述1 拓扑学和函数论地图投影是地图的数学基础地图投影也就是建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度经度表示）之间的函数关系，即 （1）不同的，，决定着不同的具体的地图投影[3]地图投影变换，定义为两个二维场间的拓扑变换若视地球表面为一剪开的具有曲线坐标，的二维场，那么，地图投影及其逆变换就是投影变换的一个特例[4]所谓拓扑变换，是一种既不撕破也不捏合，但允许将图伸缩和弯曲的变换[5]图1中的两幅南美洲地图，直观地表示了拓扑变换的含义根据拓扑学中网的数学定义，可以导出地图学中坐标网、水网、道路网等地图网络的数学定义[6]因变量是自变量的函数[7]1）式中，x，y因给定的，值而变，x，y是，的函数获得x的f1和获得y的f2是两个不同的函数对应、映射、变换都是函数的同义词[8]地图符号是地图的语言地图符号本质上是制图物体在三重拓扑映射下的平面象这三重拓扑是：三维空间X到地球椭球面S的映射f : X→S，椭球面S到制图者认知结构Y的映射g : S→ 项目来源：国家自然科学基金资助项目（40871250，40661005）；教育部新世纪优秀人才支持计划专项（NCET-06-0760）. 广西自然科学基金重点项目(0832021Z). 作者简介：钟业勋（1939-），男，教授，研究方向：地图学理论。
Y以及Y到二维平面Z的映射q : Y→Z设x为制图区域A内的制图物体，，则为其椭球面上的投影，为制图者关于x及f(x)的知识，它以观念形态存在于制图者的认知结构Y中则为地图符号制图者根据地图专题选定x的属性，通过主观干予保证x与qgf(x)的一一对应性[9]图1 南美洲在两种不同投影中的形状Fig1. Form of South America in Two Different Projection2 几何学以著名的第五公设（平行公理）演绎出来的几何体系，称为欧几里得几何透视方位投影就是利用欧氏几何建立地图投影的传统方法透视方位投影，根据视点与地球球心距离的大小，又可分为正射投影（视点在无穷远）、外心投影（视点位于球面外有限距离处）、球面投影（视点在地球面上）和球心投影（视点在地球中心）我国学者李国藻创设的双重方位投影也属几何方法建立的投影[10]投影变形在地图投影中不可避免，笔者在文献［11］中对此用几何方法给出了形象的证明地图应用中常有面积量算面积量算中的几何图形计算法、方格法、平行线法、经纬网络法等量算方法，都基于几何学的基本原理[12]3 微积分微积分在地图学中的应用相当普遍。
建立地图投影的基本公式时，求一阶基本量（也称高斯系数）E、F、G、H是推导公式的基础，这过程要对椭球面上的微分梯形沿经线、沿纬线、沿对角线微分，一阶基本量的表达式也是关于或关于的偏导数等角条件、等积条件、等距离条件的确定，也包含一系列的微分和偏导数运算从赤道至纬度之间的子午线弧长S表现为积分： （2）（2）式中a为地球椭球的长半径，e为第一偏心率 椭球面上由经线，纬线围成的球面梯形面积的积分式为： （3）（3）式中的M为子午圈曲率半径，N为卯酉圈曲率半径在等积投影的计算中，需求经差1弧度的从赤道至纬度的球面梯形面积（以平方千米为单位）高斯－克吕格投影的x，y坐标公式推导过程，需要进行一系列复杂的微分和导数、偏导数运算我国杨启和教授通过对高斯－克吕格投影族的研究[13]，推导出高斯－克吕格投影族长度比公式为 （4）高斯－克吕格投影族子午线收敛角公式为 （5）这两式都包含着、关于（经差）的偏导数。
4 代数学代数学中把形如F1(x, y, …, z）= F2(x, y, …, z）的等式称为方程方程即含有未知数的等式以地球椭球长半径a和短半径b，以地心为坐标原点的椭球面方程为 （6）多圆锥投影、伪圆柱投影和圆柱投，其经线都对称于中央经线，其经线方程表现为纬度或的函数的高次幂方程[14]： （7）若f(x), g(x)中至少有一个是初等超越函数，则方程f(x)= g(x)称为初等超越方程（简称超越方程）由赤道至纬度的子午线弧长公式，即本文的（2）式，经变换后表现为（采用IUGG75椭球参数）： （8）经差1弧度，由赤道至纬度的椭球面梯形面积为 （9）等角表象函数U公式为 （10）（10）式中之上述（8）、（9）、（10）式都属代数学中的超越方程笔者在文献［15］中给出了这类超越方程的反解程序（已知、或反解纬度）地图表示对象中，不乏空间曲线，空间曲线的方程形式为[16]： （11）布尔代数又称逻辑代数，是阐释计算机计算原理的数学基础。
对以点为基本元素的地图图像系统，以地图符号为基本元素的地图符号系统和地图图层为基本元素的地图图层系统，笔者证明了它们都属于布尔代数系[17-19]笔者还论证了地图编过程实质上是通过有限的制图综合算子的布尔运算的过程[20]5 图论文献[21]给出了图的经典定义由于地图是图的集合中的子集，“地”字的限制，使它与其他图种如电路图、植物图等有本质的区别，使其具有地图的基本特性[22]由于地图至少要有一个点作为内容，才能成其为图而一个点按图的定义叫平凡图考虑到内图廓线存在的必然性，所以任何情况下，地图都满足标准的图的定义，这是地图存在的逻辑基础笔者在文献[23]中，在给出地图内容和形数学表述的基础上，给出了严密的地图数学定义地图符号可分为点状符号、线状符号和面状符号三大类点线符号构成图G，而面状符号则是图G的平面嵌入，即平面图G之平面嵌入，把平面分成若干个连通的封闭区域，每个区域叫做图G的一个面，那个无界面叫做图G的外面从图论观点，又揭示了面状地图符号为点线地图符号构成的图G的平面嵌入这一特性[24]图论也阐释了图形（由点线符号构成）与背景（由面状符号构成）在生成原理与视觉感受上的本质区别6 集合论地图所表示的地学实体，如居民地、道路网、水系、地貌等，本质上是不同性质的点的集合。
地图符号具有性质特征i，表象特征（颜色）j，浓淡层次t三种基本特征这些基本特征，是推出黑白地图、彩色地图等地图点集模型的基础[25]分类是我们认识事物、处理信息的一个基本步骤地图符号分类体系中的每一种分类方法，都是按一定的标志将符号分成若干集合族，不同的标志，就构成不同的分类例如，按符号定位部分的几何性质，可分为点状、线状和面状地图符号；按符号与地图比例尺的相关性，可分为依比例符号、不依比例符号和半依比例符号[26]；按地图符号是否反映现实存在可分为模拟和虚拟地图符号，等等[27，28]集合论为地图内容分类提供了数学工具不同的地貌形态可视为一定区域内任意点i对确定的地貌特征点P的高差满足某一条件的点的集合设地貌特征点P的邻域为A，对于，若，根据条件D的不同，可分别对斜坡、山、山脊、凹地、谷地、鞍部等给出定义[29]山地和平原通过海拔高程和起伏度条件限制可以统一其定义[30]应用集合论的邻域概念，通过地貌特征点所满足不同约束条件，可以建立地貌形态数学定义严密体系[31] 集合X上的自反、反对称和传递关系称为偏序关系，用“≤”表示，具有偏序关系的集合称为偏序集[32]而定名量表、顺序量表、间隔量表和比率量表等地理变量量表，其本质上是满足某种条件的源数据偏序集（X，≤）的简化，不同的简化偏序集（A，≤）对（X，≤）具有包含关系且具有不同的形式[33]。
7 概率论和数理统计概率论是从数量的侧面来研究随机现象的统计规律的一门学科地貌形态有时表现为概率论中的正态分布，但大多数表现为皮尔逊Ⅲ型分布皮尔线Ⅲ型曲线为英国学者皮尔逊创立，在地图制图中颇为常见数理统计研究的主要对象是相关关系在地图制图中通常应用直线相关和曲线相关研究一个随机变量与另一个非随机变量的相关称为回归分析；研究两个随机变量的相关性称为相关分析回归分析和相关分析在地图制图中都有应用例如，居民地是同道路网最密切的一个要素，居民地的选取对道路网有重要影响文献［34］给出的一个实例中，通过测量100块样品，获得样品中每块居民地的个数Q和道路的网眼数n，根据坐标纸上给出的n和Q的相关分布，用直线方程拟合，通过回归计算得到回归方程 （12）当Q=1时有n=0.3，说明只有1个居民地时一般不构成网眼，均方差Sn=±0.76，离差系数Cv=0.066作者按这公式选取道路，获得较好的效果概率论和数理统计，在确定居民地分级选取数量指标、河流的选取标准等方面，都有应用8 分形几何学欧几里得几何在规则、光滑形状（或有序系统）的研究中相当有效然而，现实世界中却有许多问题不能用欧氏几何去解决。
英国人L.理查森考察海岸线的长度问题，发现在西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰等国出版的百科全书记录的一些海岸长度竟相差20%法国数学家蒙德尔罗布（B. Mandelbrot）采用瑞典数学家柯克（H.Von. Koch）发现的“柯克曲线”作为思考海岸线问题的数学模型，通过深入研究并引进了分数维概念，1977年正式将具有分数维的图形称为“分形”（fractal），并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何[35]分形是指由各个部分组成的形态，每个部分以某种方式与整体相似分形几何揭示，象海岸线这样的非规则曲线，其总长与测量尺子的长度相关，尺子越小，测量结果越大类似地，考虑到非规则的曲面面积测量，这时可以把尺子看成边长为的小方块数出与曲线或曲面相交的方块数N()，则曲线的长度L()和曲面“面积” A()可求这两种情况，线长L()或曲面面积A()满足： 图2 用分形几何量测不规则。