专题专题 20 20 勾股定理勾股定理 【专题目录】技巧 1：判定直角的四种方法 技巧 2：巧用勾股定理解折叠问题 技巧 3：巧用勾股定理求最短路径的长【题型】一、勾股定理理解三角形【题型】二、勾股定理与网格问题【题型】三、解直角三角形在实际中的应用【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系【题型】五、求梯子滑落高度【题型】六、求旗杆高度【题型】七、求蚂蚁爬行距离【题型】八、求大树折断前的高度【题型】九、求台阶上的地毯长度【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等【考纲要求】1、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定 2、掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.【考点总结】一、直角三角形与勾股定理 直 角 三 角 直角三角形直角三角形性质性质 直角三角形的两锐角互余;直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.勾股定理概念勾股定理概念 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc 变式：1）a=c-b 2）b=c-a 适用范围：适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于 形 与 勾 股 定 理 直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明勾股定理的证明 方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc 大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc 方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证222abc cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA【技巧归纳】技巧 1：判定直角的四种方法【类型】一、【类型】一、利用三边的数量关系说明直角利用三边的数量关系说明直角 1如图，在 ABC 中，D 为 BC 边上一点，且 AB10，BD6，AD8，AC17，求 CD的长 【类型】二、【类型】二、利用转化为三角形法构造直角三角形 2如图，在四边形 ABCD 中，B90，AB2，BC 5，CD5，AD4，求 S四边形ABCD.【类型】三、【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形 3如图，在 ABC 中，D 为边 BC 的中点，AB5，AD6，AC13，求证：ABAD.【类型】四、【类型】四、利用“三线合一”法构造直角三角形 4如图，在 ABC 中，CACB，ACB90，D 为 AB 的中点，M，N 分别为 AC，BC上的点，且 DMDN.(1)求证：CMCN 2BD；(2)如图，若 M，N 分别在 AC，CB 的延长线上，探究 CM，CN，BD 之间的数量关系 勾股数勾股数 勾股数概念：勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 常见的勾股数：常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 扩展：扩展：用含字母的代数式表示n组勾股数：1）221,2,1nn n（2,nn为正整数）；2）2221,22,221nnnnn（n为正整数）3）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）注意：注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
参考答案参考答案 1解：AD2BD2100AB2，ABD 为直角三角形，且ADB90.ADC90.在 Rt ACD 中，CD2AD2AC2，CD AC2AD2 1728215.2解：连接 AC.在Rt ACB 中，AB2BC2AC2，AC3，AC2AD2CD2.ACD 为直角三角形，且CAD90，S四边形ABCD12 2 512 3 46 5.3证明：如图，延长 AD 至点 E，使 DEAD，连接 CE，BE.D 为 BC 的中点，CDBD.又ADDE，ADCBDE，ADCEDB，BEAC13.在 ABE 中，AE2AD12，AE2AB212252169.又BE2132169，AE2AB2BE2，ABE 是直角三角形，且BAE90，即 ABAD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直 4(1)证明：如图，连接 CD，DMDN，MDCCDN90.ACB90，ACCB，D 为 AB 的中点，CDAB，ACDBCD45，A B45，CDNNDB90.MDCNDB.BCDB45，CDBD.在 CMD 和 BND 中，MDCNDB，MCDNBD45，CDBD，CMDBND，CMBN.CMCNBNCNBC.在 Rt CBD 中，CDB90，CDBD，BC 2BD.CMCN 2BD.(2)解：CNCM 2BD，如图，连接 CD，证法同(1)技巧 2：巧用勾股定理解折叠问题【类型】一、【类型】一、巧用全等法求折叠中线段的长巧用全等法求折叠中线段的长 1如图是一直角三角形纸片，A30，BC4 cm，将其折叠，使点 C 落在斜边上的点C处，折痕为 BD，如图，再将图沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，如图，则折痕 DE 的长为()A.83 cm B2 3 cm C2 2 cm D3 cm【类型】二、【类型】二、巧用对称法求折叠中图形的面积巧用对称法求折叠中图形的面积 2如图，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 C处，BC交 AD 于 E，AD8，AB4，求 BED 的面积 【类型】三、【类型】三、巧用方程思想求折叠中线段的长巧用方程思想求折叠中线段的长 3 如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交 BC于点 G，连接 AG.(1)求证：ABGAFG；(2)求 BG 的长 【类型】四、【类型】四、巧用折叠探究线段之间巧用折叠探究线段之间的数量关系的数量关系 4如图，将长方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E，交 BC于点 F，连接 CE.(1)求证：AEAFCECF；(2)设 AEa，EDb，DCc，请写出一个 a，b，c三者之间的数量关系式 参考答案参考答案 1A 2解：由题意易知 ADBC，23.BCD 与 BCD 关于直线 BD 对称，12.13.EBED.设 EBx，则 EDx，AEADED8x.在 Rt ABE 中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2.x5.DE5.S BED12DE AB12 5 410.解题策略：解决此题的关键是证得 EDEB，然后在 Rt ABE 中，由 BE2AB2AE2，利用勾股定理列出方程即可求解 3(1)证明：在正方形 ABCD 中，ADAB，DB90.将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，ADAF，DAFE90.ABAF，BAFG90.又 AGAG，Rt ABGRt AFG(HL)(2)解：ABGAFG，BGFG.设 BGFGx，则 GC6x，E 为 CD 的中点，CEDEEF3，EG3x.在 Rt CEG 中，32(6x)2(3x)2，解得 x2.BG2.4(1)证明：由题意知，AFCF，AECE，AFECFE，又四边形 ABCD 是长方形，故 ADBC，AEFCFE.AFEAEF.AEAFECCF.(2)解：由题意知，AEECa，EDb，DCc，由D90 知，ED2DC2CE2，即 b2c2a2.技巧 3：巧用勾股定理求最短路径的长【类型】一、【类型】一、构造直角三角形构造直角三角形法求平面中最短问题法求平面中最短问题 1如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从 A 走到 B，为了避免拐角 C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_步路(假设 2 步为 1 m)，却踩伤了花草 2小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B，现在可以在黄石 A 坐“武黄城际列车”到武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明解决以下问题：(1)求 A，C 之间的距离(参考数据：214.6)(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为 180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由(不计候车时间)【类型】二、【类型】二、用平移法求平面中最短问题用平移法求平面中最短问题 3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是 50 cm，30 cm，10 cm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只壁虎，它想到 B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，至少需爬()A13 cm B40 cm C130 cm D169 cm 4如图，已知BCDE90，且 ABCD3，BC4，DEEF2，则 AF的长是_ 【类型】三、【类型】三、用对称法求平面中最短问题用对称法求平面中最短问题 5如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上且 DM2，N 是 AC 上的一动点，求DNMN 的最小值 6.高速公路的同一侧有 A，B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 AA2 km，BB4 km，AB8 km.要在高速公路上 A，B之间建一个出口 P，使 A，B 两城镇到 P 的距离之和最小求这个最短距离 【类型】四、【类型】四、用展开法求立体图形中最短问题 题型题型 1：圆柱中的最短问题 7如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径若一只小虫从 A 点出发，沿圆柱侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是_(结果保留根号)题型题型 2：圆锥中的最短问题 8已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为_(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿 AS 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_(3)如果点 C 是 SA 的中点，在 A 处有一只蜗牛，在 C 处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿 AC 爬到 C 处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA 的长为 10，侧面展开图的圆心角为 90，请你求出蜗牛爬行的最短路程 题型题型 3：正方体中的最短问题 9如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1处(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为 4 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长 题型题型 4：长方体中的最短问题 10如图，长方体盒子的长、宽、高分别是 12 cm，8 cm，30 cm，在 AB 的中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 E 处沿盒子表面爬到 C 处去吃，求小虫爬行的最短路程 参考答案参考答案 14 2解：(1)如图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于点 E.ABC120，BCE30.在 Rt CBE 中，BC20 km，BE10 km.由勾股定理可得 CE10 3 km.在 Rt ACE 中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400，AC20 21204.692(km)(2)选择乘“武黄城际列车”理由如下：乘客车所需时间为8060113(h)，乘“武黄城际列车”所需时间约为9218020401190(h)1131190，选择乘“武黄城际列车”3C 点拨：将台阶面展开，连接 AB，如图，线段 AB 即为壁虎所爬的最短路线因为 BC30 310 3120(cm)，AC50 cm，在 Rt ABC 中。