浦东一模高三数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1. 设集合，，则______.2. 若幂函数的图象经过点，则实数______.3. 函数定义域为______.4. 的二项展开式中的系数为______.5. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．6. 已知为锐角，若，则______.7. 已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为______.（精确到0.01）8. 已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为______.9. 某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.10. 如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.11. 已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.12. 已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13. 已知，，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件14. 虚数的平方是（ ）A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数15. 已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确个数为（ ）①平面内的所有直线均与直线l异面；②平面内存在与直线l垂直的直线；③平面内不存在直线与直线l平行；④平面内所有直线均与直线l相交.A 1 B. 2 C. 3 D. 416. 已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（ ）A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 12个三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求当n为何值时，数列前n项和取得最大值.18. 如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.（1）求证：；（2）若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.19. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.（1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；（2）若直线过点且与圆相切，求弦长的值；（3）若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.21. 已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.（1）分别判断函数、是否为函数；（2）是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b取值范围；否则，证明你的结论；（3）已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.浦东一模高三数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1. 【答案】2.【答案】43.【答案】4.【答案】805.【答案】6.【答案】7.【答案】0.368.【答案】129.【答案】10.【答案】811.【答案】和12.【答案】9二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13. 【答案】B14.【答案】D15.【答案】B16.【答案】D三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.【答案】（1）； （2）或时，取得最大值.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于公差的方程，求得d，可得答案；（2） 等差数列的前n项和公式求，结合二次函数性质求最大值.【小问1详解】设数列的公差为d，，由，，成等比数列，得，即，解得.所以数列的通项公式为.【小问2详解】由得，，当或5时，取得最大值，最大值为10.18. 如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.（1）求证：；（2）若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)由面面垂直性质定理证明底面，由此证明，再证明，由线面垂直判定定理证明平面，最后证明；(2)结合线面角的定义可得，结合锥体体积公式求四面体PAOC的体积.【小问1详解】连接，因为，所以，侧面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜边为直角三角形，且，所以，又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，又E为OC的中点，所以，因为，，，，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，因为，所以，在中，，，所以.19. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.（1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？【答案】（1）247.4m （2）应使得，来修建观赏步道.【解析】【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理求出m；（2）解法一：先得到烧烤区占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，，由余弦定理得到，结合基本不等式求出，，此时，得到结论.【小问1详解】，解得：，因为C是钝角，所以.由余弦定理得：，故需要修建247.4m的隔离防护栏；【小问2详解】解法一：，当且仅达时取到等号，此时m，设，，在中，，解得：，故，因为，所以，故当，即时，取的最大值为1，，当且仅当时取到等号，此时答：修建观赏步道时应使得，.解法二：，当且仅达时取到等号，此时，设，.则由余弦定理，，故由平均值不等式，，从而，等号成立当且仅当.答：修建观赏步道时应使得，.20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.（1）求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；（2）若直线过点且与圆相切，求弦长的值；（3）若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.【答案】（1）左焦点、右焦点，离心率； （2）2； （3）证明见解析.【解析】【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.【小问1详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.【小问2详解】圆圆心为原点，半径为1，当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为，则.联列方程：，化简得，方程的判别式，设，，则，所以，即弦长的值为2；【小问3详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，由题可知，所以，，故，因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，设，直线，联立，，同理，，所以，，设，则，化简得，所以同理所以，所以所以，所以因而因而直线直线PQ.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.（1）分别判断函数、是否为函数；（2）是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；（3）已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.【答案】（1）不是，是； （2）存在，； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，根据单调性得到结论；（2）令，分与两种情况，先得到时，严格增，根据时，要想严格增，得到，验证后得到函数为函数；（3）根据是R上的严格增函数求出，再证明时，得到时，从而为函数.【小问1详解】当时，不是严格增函数，故不是函数；当时，，是严格增函数，故是函数；【小问2详解】令，当时，由，得，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，所以，故此时，得，从而严格增.当时，，后者严格增，当且仅当，即，又因为当时，，从而上，严格增，故为所求.【小问。
