第十五章 组合变形 15-1 引言 叠加原理 叠加原理的前提是线弹性范围的小变形变形过大，造成外力、内力、变形间的非线形关系 将外力进行简化或分解，转化为几组静力等效载荷，每组载荷对应一种基本变形，分别计算各基本变形引起的内力、应力、应变和位移，进行叠加得组合变形下的内力、应力、应变和位移 15-2 平面弯曲组合 斜弯曲弯矩作用平面与惯性主轴平面不重合的弯曲 外力都作用在通过梁轴线的两个不同的主轴平面内 外力作用在通过轴线的非惯性主轴平面内 斜弯曲为若干平面弯曲的组合变形 一、内力与应力的计算 xy平面内的弯曲，中性轴为z xz平面内的弯曲，中性轴为y 任意截面x上的内力中性轴方程 二、最大正应力与强度条件 设危险截面上危险点（正应力最大点）的坐标为( y0 ,z0) 1.矩形截面 2.圆截面 正应力分布规律同前，离中性轴最远的点应力最大对于圆形截面两个最大正应力值的位置不重合在一点，但圆截面对于任意直径轴的抗弯截面系数是一样的，同时有一根直径轴必为截面中性轴，所以截面的最大正应力可求出截面的合弯矩后采用上述公式计算 例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm ，两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。
已知F1 = 800N ，F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的最大正应力并指出其作用位置 解：经分析固定端处A 点拉应力最大，B 点压应力最大 例：图示吊车梁，跨度l = 4m ，用No.20a 工字钢制成当起吊时，由于被吊物体位置偏斜，致使载荷偏离梁截面的铅垂对称轴若载荷F = 20kN ，偏斜角=5o，试计算梁内的最大弯曲正应力 解：当载荷位于梁中点时，梁截面的弯矩My 、Mz 在中点位置同时有最大值查型钢表 15-3 弯拉（压）组合 轴向力与横向力同时作用 拉（压）与弯曲的组合 不通过截面形心的纵向力，即偏心拉伸与压缩一、轴向力与横向力同时作用引起的弯拉（压）组合 1.内力与应力的计算 轴向力 横向力 （对实心截面引起切应力很小，忽略） 2.最大正应力与强度条件 轴力为拉力 轴力为压力 危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力），强度条件： 二、偏心载荷引起的弯拉（压）组合 1.内力与应力的计算 偏心力F 向截面形心平移2.最大正应力与强度条件 矩形截面 轴力为拉力 轴力为压力 危险点为单向应力状态，强度条件： 例：小型压力机的铸铁框架如图，已知材料的许用拉应力t = 30MPa ，许用压应力c = 160MPa 。
试按立柱的强度确定压力机的最大许用压力F 解： 计算截面的几何性质 求截面内力 由平衡条件可得截面的轴力和弯矩分别为 求截面最大拉、压应力，以抗拉、压强度条件求最大许用压力 解得： 解得： 所以压力机的最大许用压力 F = 45.1kN 例：图示梁承受集中载荷F 作用，已知载荷F = 10kN ，梁长l = 2m ，载荷作用点与梁轴的距离e = l / 10 ，方位角=30o ，许用应力=160MPa 试选择合适的工字钢型号 解： 计算简图确定 轴向拉伸 xy 平面内弯曲 作各变形对应的内力图 由内力图及强度公式可判断A 截面为危险截面 FN 图 M 图 根据弯曲强度条件初步选择工字钢型号 查型钢表初步选择No.12.6 工字钢 按弯拉组合受力校核强度 所以选择No.12.6 工字钢满足强度要求 15-4 弯扭组合与弯拉（压）扭组合 一、弯扭组合 1.内力与应力的计算 横向力 力偶矩 不考虑危险截面为A截面 2.强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件分析危险截面A上危险点D1的应力状态，求得 在圆轴表面处两点正应力和切应力同时有最大值，强度条件的相当应力有最大值 按第三强度理论，强度条件 按第四强度理论，强度条件 危险截面的判定：强度条件：或的截面 例：图所示传动轴AB 由电动机带动。
已知电动机通过联轴器作用在截面A 上的扭力偶矩为M1 = 1kNm ，皮带紧边与松边的张力分别为FN 与 ，且 ，轴承C 、B 间的距离l = 200mm ，皮带轮的直径D = 300mm ，轴用钢制成，许用应力 = 160MPa 试按第四强度理论确定轴 AB 的直径 解： 确定计算简图 以轴为研究对象，建立平衡方程 解得： 将力 与 向AB 轴简化作用在截面E 上的横向力作用在截面E 上的扭转力偶矩 作各变形对应的内力图 T 图（扭转） M 图（铅垂平面内的弯曲） 由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 确定AB 轴的直径 所以AB 轴的直径d = 44mm 例：图所示齿轮传动轴，用钢制成在齿轮1 上作用有径向力Fy = 3.64kN，切向力Fz = 10.0kN，在齿轮2 上作用有径向力 ，切向力 若轴的直径d = 52mm ，直径D1 = 200mm ，D2 = 400mm ，许用应力 = 100MPa ，按第四强度理论校核轴的强度 （左视图） 将力 向轴简化作用在截面A 上xz 平面内的横向力作用在截面A 上的扭转力偶矩 解： 确定计算简图，计算轴承约束力 Fy滑移 将力 向轴简化作用在截面C 上xy 平面内的横向力作用在截面C 上的扭转力偶矩 滑移以轴为研究对象，建立平衡方程 解得： T 图（扭转） Mz 图（xy 平面内的弯曲） My 图（xz 平面内的弯曲） 作各变形对应的内力图 强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面在B 处 所以轴的强度满足要求。
二、弯拉（压）扭组合 横向力 （对实心截面引起切应力很小，忽略） 力偶矩 1.内力与应力的计算 轴向力 危险截面为A截面 2.强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件分析危险截面A上危险点D1的应力状态，求得 在圆轴表面处一点正应力和切应力同时有最大值，强度条件的相当应力有最大值 按第三强度理论，强度条件 按第四强度理论，强度条件 例：水平折杆结构受力如图所示，钢制圆杆的横截面面积A = 8510-4m2，抗扭截面系数WP = 20010-6m3，抗弯截面系数Wz = 10010-6m3，钢材的许用应力 = 140MPa ，试按第三强度理论对AB段进行强度校核 解： 确定计算简图 将力F1 平移至B 端，附加一个力偶 M1 = 80.5 = 4kNm将力F2 平移至B 端，附加一个力偶 M2 = 200.5 = 10kNm 作各变形对应的内力图 FN 图（轴向拉伸） T 图（扭转） Mz 图（xy 平面内的弯曲） My 图（xz 平面内的弯曲） 强度校核 由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端2m 处，计算危险点在横截面的应力值 所以AB 段强度满足要求。