山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知平面的一个法向量为,直线l的一个方向向量为,若,则( )A. B. C.1 D.22．抛掷两枚质地均匀的硬币一次,设“第一枚硬币正面朝上”为事件A,“第二枚硬币反面朝上”为事件B,则下述正确的是( ).A.A与B对立 B.A与B互斥C. D.A与B相互独立3．已知圆M经过,两点,且圆心M在直线,则圆M的标准方程是( )A. B.C. D.4．甲、乙二人下围棋,若甲先着子,则甲胜的概率为0.6,若乙先着子,则乙胜的概率为0.5,若采取三局两胜制（无平局情况）,第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子,以后每局由上一局负者先着子,则甲通过前两局获得胜利的概率( )A.0.5 B.0.6 C.0.357 D.0.2755．在正方体中,E是棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.6．若直线l与圆,圆都相切,切点分别为A、B,则( )A. B. C. D.7．已知点,.若直线与线段无公共点,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.8．在棱长为1的正方体中,E,F分别是,的中点,则直线到平面的距离为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知事件A,B发生的概率分别为,则下列说法正确的是( )A.B.若A与B互斥,则C.若A与B相互独立,则D.若,则A与B相互独立10．在平面直角坐标系中,已知圆与圆,P,Q分别为圆O和圆M上的动点,下列说法正确的是( )A.过点作圆M的切线有且只有一条B.若圆O和圆M恰有3条公切线,则C.若的最小值为1,则D.若,则直线的斜率的最大值为11．已知正方体的棱长为2，如图，M为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是( )A.直线与平面所成角的正弦值范围为B.当点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.当点M为的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形D.已知N为的中点，当的和最小时，则三、填空题12．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度最小值为________.13．已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为________.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为,动点满足,当P、A、B不共线时,面积的最大值是________.四、解答题15．口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;（2）请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平.16．已知直线l过定点（1）若到直线l的距离为,求直线l的方程;（2）若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程.17．如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,E是的中点.（1）求证:平面;（2）已知点F在棱上,且直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.18．已知点Q为圆上的动点,点,延长至点S使得Q为的中点.（1）求点S的轨迹方程.（2）过圆M外点P向圆M引两条切线,且切点分别为A,B两点,求最小值.（3）若直线与圆M交于D,E两点,且直线,的斜率分别为,,则是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.19．空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:,,分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴､z轴）正方向的单位向量,若向量,则与有序实数组相对应,称向量的斜60°坐标为,记作.（1）若,,求的斜60°坐标;（2）在平行六面体中,,,,N为线段的中点.如图,以为基底建立“空间斜60°坐标系”.①求的斜60°坐标;②若,求与夹角的余弦值.参考答案1．答案：B解析：因为,所以,所以,解得.故选:B2．答案：D解析：由题意可得,抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),则事件A包含的结果有:(正,正),(正,反),事件B包含的结果有:(正,反),(反,反),显然事件A,事件B都包含“(正,反)”这一结果,即事件A,事件B能同时发生,所以,事件A,事件B既不互斥也不对立,故AB错误.又因为,,而,,所以,,故C错误,D正确.故选:D3．答案：C解析：设圆心M的坐标为.因为圆心M在直线上,所以①,因为P,Q是圆上两点,所以,根据两点间距离公式,有,即②,由①②可得,.所以圆心M的坐标是）,圆的半径.所以,所求圆的标准方程是.故选:C.4．答案：D解析：由题意,第一局甲先着子,甲前两局获胜的概率为,第一局乙先着子,甲前两局获胜的概率为,故甲前两局获胜的概率为.故选:D.5．答案：A解析：建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则,,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,令,则,所以,设直线与平面所成角为,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.故选:A.6．答案：C解析：如下图所示,设直线l交x轴于点M,由于直线l与圆,圆都相切,切点分别为A、B,则,,,,为的中点,为的中点,,由勾股定理可得.故选:C.7．答案：A解析：由,得,所以直线l的方程恒过定点,斜率为.因为,,所以,.如图所示,由图象可知,,即时,直线与线段无公共点,所以实数m的取值范围为,故选:A.8．答案：D解析：如图建立空间直角坐标系,则,,,,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,令,则,因为,平面,平面,所以平面,所以直线到平面的距离即为点B到平面的距离,所以直线到平面的距离为.故选:D.9．答案：CD解析：对于A选项,若,则,所以,A错误;对于B选项,若A与B互斥,则,B错误;对于C选项,若A与B相互独立,则,所以,,C正确;对于D选项,若,且,所以事件A与相互独立,则事件A与B相互独立,D正确;故选:CD.10．答案：BD解析：由圆,可得圆心为,半径为,圆,可得圆心为,半径为r,对于A中,由点在圆M外,所以过点的切线有2条,所以A不正确;对于B中,若圆O和圆M恰有3条公切线,则圆O和圆M相外切,所以,即,解得,所以B正确;对于C中,当圆O和圆M外离时,可得的最小值为,此时;当圆O和圆M内含时,可得的最小值为,此时,所以C不正确;对于D中,当时,则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率,如图所示,,且,所以,在直角,可得,所以,即直线PQ的斜率的最大值为,所以D正确.故选:BD.11．答案：ACD解析：对于A选项，以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，平面，则为平面的一个法向量且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当M与重合时，连接，，，在正方体中，平面，平面，，∵四边形是正方形，则，，，平面，平面，平面，，同理可证，，，平面，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.分别取棱,,,,,的中点E，F，Q，N，G，H易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形EFQNGH的周长为，面积为，则的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点E为棱的中点，同理可知，点F为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，如下图所示：若最短，则A，M，N三点共线，，，又，，D选项正确.故选：ACD.12．答案：解析：由题意得直线过定点，圆圆心为，半径为，连接，当直线l与垂直时弦长最小，此时，所以AB长度最小值为.故答案为：.13．答案：解析：因为,,则,,所以向量在向量上的投影向量为.故答案为:.14．答案：解析：以经过A、B的直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则、,设,因为,所以,两边平方并整理得:,即,所以面积的最大值是.故答案为:.15．答案：（1）（2）这种游戏规则不公平解析：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件A.甲编号为x,乙编号为y,表示一个基本事件,则两人摸球结果包括,,,…,,,,共25个基本事件;A包括的基本事件有,,,,共5个..甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为.（2）这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件.甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个:,,,,,,,,,,,,.所以甲胜的概率为,乙胜的概率为,,这种游戏规则不公平.16．答案：（1）或（2）最小值为12,直线l的方程为.解析：（1）当直线l斜率不存在时,由l过得,满足Q到l的距离为3,当直线l斜率存在时,设直线方程为即,点到直线l的距离为,解得.此时直线的方程为即,综上所述,所求的直线方程为或.（2）若直线l分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,则设直线l为,,则,,,当且仅当时取等号,故面积的最小值为12,此时直线l的方程为.17．答案：（1）证明见解析（2）或解析：（1）连结,交于点O,连结,点E是的中点,点O是的中点,所以,平面,平面,所以平面;（2）如图,以向量,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,,,则,,设平面的法向量,则,令,,,所以平面的法向量,,,,,设直线与平面的夹角为,则,解得或,又,则或18．答案：（1）（2）（3）的值为定值,且定值为解析：（1）设,动点,由中点的坐标公式解得,,又在圆上,可得,即可得,点S的轨迹方程是.（2）设.则,,,所以:,当且仅当,即时,等号成立,所以最小值为.（3）如下图所示:联立方程组,得,设,,则,,故的值为定值,且定值为.19．答案：（1）（2）①;②解析：（1）由,,知,,所以,所以;（2）设,,分别为与,,同方向的单位向量,则,,,①,.②因为,所以,则,,.,,。