489管理运筹学第十四章排队论§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9排队过程的组成部分 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 排队系统的经济分析 单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型 单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型 多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型 顾客来源有限制排队模型 单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的 排队模型*§10§11多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的 排队模型 生灭过程及生灭过程排队系统490管理运筹学§ 1排队过程的组成部分基本概念 一些排队系统的例子排队系统顾客服务台服务系统售票系统设备维修防空系统呼叫 购票旅客出故障的设备进入阵地的敌机总机售票窗口修理工高射炮接通呼叫或取消呼叫收款、售票排除设备故障瞄准、射击，敌机被击落或离开排队的过程可表示为：491管理运筹学§ 1排队过程的组成部分考虑要点： （1）服务台（或通道）数目：单服务台（单通道）、多服务台（多通道）2）顾客到达过程：本教材主要考虑顾客的泊松到达情况满足以下四个条件的输入流称为泊松流（泊松过程）。
平稳性：在时间区间 [t, t+Δt）内到达 k 个顾客的概率与 t 无关，只与Δt 有关，记为 pk（Δt）无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立普通性：在足够短的时间内到达多于一个顾客的概率可以忽略有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于 1泊松分布：λ 为单位时间平均到达的顾客数P（x） = λx e−λ / x!（x = 0, 1, 2,…）492管理运筹学§1排队过程的组成部分（3）服务时间分布：服从负指数分布，μ 为平均服务率，即单位时间 服务的顾客数， P（服务时间≤t）=1−e−μ t 4）排队规则分类 ①等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去，先到先服务， 后到先服务，随机服务，有优先权的服务；②损失制：到达的顾客有一部 分未接受服务就离去 （5）平稳状态：业务活动与时间无关493管理运筹学§1排队过程的组成部分排队系统的符号表示： 一个排队系统的特征可以用五个参数表示，形式如下A／B／C／D／E其中A –– 顾客到达的概率分布，可取 M、D、G、Ek 等；B –– 服务时间的概率分布，可取 M、D、G、Ek 等； C –– 服务台个数，取正整数；D –– 排队系统的最大容量，可取正整数或∞；E –– 顾客源的最大容量，可取正整数或∞。
例如M / M / 1 / ∞ / ∞，表示顾客到达过程服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，一个服务台，排队的长度无限制和顾客的来源无限制494管理运筹学§2 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型M/M /1/ ∞ / ∞ 单位时间顾客平均到达数 λ，单位平均服务顾客数 μ（λc 时502管理运筹学§3例 2.多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型在例 1 的储蓄所里多设一个服务窗口，即储蓄所开设两个服务 窗口顾客的到达过程仍服从泊松分布，平均每小时到达顾客仍是 36 人； 储蓄所的服务时间仍服从负指数分布，每个窗口平均每小时仍能处理 48 位顾客的业务，其排队规则为只排一个队，先到先服务试求这个排队系 统的数量指标解：C = 2，平均到达率 平均服务率λ = 36/60 = 0.6， μ = 48/60 = 0.8P0 =0.454 5,Lq = 0.122 7 (个顾客), Wq = Lq /λ = 0.204 5 (分钟),Ls = Lq + λ /μ = 0.872 7 (个顾客), Ws = Wq+ 1/μ= 1.454 5 (分钟), Pw = 0.204 5,P1 = 0.340 9, P2 = 0.127 8,P3 = 0.047 9, P4 = 0.018 0,P5 = 0.006 7。
系统里有 6 个人多于 6 个人的概率为 0.004 0503管理运筹学§3多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型在储蓄所里使用 M / M / 2 模型与使用两个 M / M / 1 模型，它们的服 务台数都是 2，服务率和顾客到达率都一样，只是在 M / M / 2 中只排一队， 在 2 个 M / M / 1 中排两个队，结果却不一样M / M / 2 使得服务水平有 了很大的提高，每个顾客的平均排队时间从 0.75 分钟减少到 0.204 5 分钟， 每个顾客在系统里逗留时间从 2 分钟减少到 1.454 5 分钟，平均排队的人 数也从 0.225 0 人减少到 0.122 7 人，系统里平均顾客数也从 0.6×2=1.2 人减少到 0.872 7 人如果把 M / M / 2 与原先一个 M / M / 1 比较，那么服 务水平之间的差别就更大了 当然在多服务台的 M/M/C 模型中，计算求得这些数量指标是很烦琐 的管理运筹学软件有排队论的程序，可以由它来计算 我们在第二节与第三节中发现有三个公式是完全相同的，实际上这三 个公式表示了任一个排队模型（不仅仅是 M / M /1 或 M/M/2）中， Ls,Lq,Ws,Wq 之间的关系。
504管理运筹学§3多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型,,,λ μLq λ 1 μLs = Lq +Wq =Ws = Wq +对任一个排队模型成立，这里 Ls, Lq, Ws, μ 的定义如上所述，而λ应为 实际进入系统平均到达率，对于排队长度有限制的模型，我们设因排队长 度的限制顾客被拒绝的概率为 PN ，则实际进入系统平均到达率应为λ (1 − PN )这时，原来公式中的λ应改为 λ (1 − PN ) 505管理运筹学§ 4排队系统的经济分析我们把一个排队系统的单位时间的总费用 TC 定义为服务机构的单位 时间的费用和顾客在排队系统中逗留单位时间的费用之和即 TC = cw Ls + cs c 其中 cw 为一个顾客在排队系统中逗留单位时间付出的费用；Ls 为在排队 系统中的平均顾客数；cs 为每个服务台单位时间的费用；c 为服务台的 数目 例 3.在前两例中，设储蓄所的每个服务台的费用 cs=18，顾客在储 蓄所中逗留一小时的成本 cw =10这样，对储蓄所 M / M / 1 模型可知 Ls =3， c=1，得TC = cw Ls + cs c=48元/每小时 对储蓄所 M / M / 2 模型可知Ls =0.872 7， c=2，得 TC = cw Ls + cs c=44.73 元/每小时。
λ σ + (λ / μ )506管理运筹学§ 5单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型M/G /1/ ∞ / ∞ 这里的 G 表示服务时间分布可以是任意的概率分布，但要求知道这 种服务时间分布的均值与均方差此时，单位时间顾客平均到达数λ，单 位平均服务顾客数μ，一个顾客的平均服务时间 1 /μ，服务时间的均方差σ 数量指标公式如下1.系统中无顾客的概率P0=1− λ/μ2.平均排队的顾客数22 22(1 − λ / μ )Lq =3. 4. 5. 6.系统中的平均顾客数 顾客花在排队上的平均等待时间 在系统中顾客的平均逗留时间 系统中顾客必须排队等待的概率Ls = Lq +λ /μ Wq = Lq / λ Ws = Wq+ 1/μ Pw = λ /μ507管理运筹学§ 5例 4.单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型某杂货店只有一名售货员，已知顾客的到达过程服从泊松分 布，平均到达率为每小时 20 人；不清楚这个系统的服务时间服从什么分 布，但从统计分析知道售货员平均服务一名顾客的时间为 2 分钟，服务时 间的均方差为 1.5 分钟试求这个排队系统的数量指标解：这是一个 M / G / 1 的排队系统，其中 λ = 20/60 = 0.333 3 人/分钟， 1/ μ = 2 分钟，μ = 1/2 =0.5 人/分钟，σ=1.5。
P0 =1−λ /μ = 0.333 4, Lq =1.041 5 (人), Ls = Lq + λ /μ = 1. 708 1 (人), Wq = Lq / λ= 1.041 5/0.333 3= 3.124 8 (分钟), Ws = Wq+ 1/μ =5.124 8 (分钟), Pw = λ/μ = 0.666 6λ σ 2 + (λ / μ ) (λ / μ )2 2(1 − λ / μ ) 2(1 − λ / μ )508管理运筹学§ 6单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型M/D /1/ ∞ / ∞M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情况σ = 0，D 表示服务时间是注：这是 常量1.系统中无顾客的概率P0=1−λ /μ2.平均排队的顾客数2 2 Lq ==3. 4.5.6.系统中的平均顾客数顾客花在排队上的平均等待时间在系统中顾客的平均逗留时间系统中顾客必须排队等待的概率Ls = Lq + λ /μWq = Lq / λWs = Wq+ 1/μPw =λ /μ509管理运筹学§ 6例 5.单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型某汽车冲洗服务营业部，有一套自动冲洗设备，冲洗每辆车需 要 6 分钟，到此营业部来冲洗的汽车到达过程服从泊松分布，每小时平均 到达 6 辆，试求这个排队系统的数量指标。
解：这是一个 M / D / 1 排队模型，其中λ = 6 辆/小时，μ = 60/6 = 10 辆/小时，得 P0 =1–λ /μ = 0.4, Lq =0.45 (辆), Ls = Lq +λ /μ = 1.05 (辆)， Wq = Lq /λ = 0.075 (小时)， Ws = Wq+ 1/μ =0.175 (小时)， Pw = λ /μ = 0.6λ / μ ) / n! ∑ (λ / μ ) / i !510管理运筹学§7多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型M/G/C/C / ∞ 注：不存在平均排队的顾客数 Lq 和顾客平均的排队等待时间 Wq数 量指标公式如下 系统中的平均顾客数Ls = λ /μ (1−Pc )其中，Pc 是系统中恰好有 c 个顾客的概率，也就是系统里 c 个服务台 都被顾客占满的概率 系统中恰好有 n 个顾客的概率：nici =0pn =n ≤ c(16 / 8) / 6 (16 / 8) /1 + (16 / 8) /1 + (16 / 8) / 2 + (16 / 8) / 6511管理运筹学§7多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型30 1 2 3== 0.210 5例 6. 某电视商场专营店开展了订货业务，到达过程服从泊松分 布，平均到达率为每小时 16 个，而一个接话员处理订货事宜的时间是随着 订货的产品、规格、数量及顾客的不同而变化的，但平均每个人每小时可 以处理 8 个订货，在此电视商场专营店里安装了一台自动交换台， 它接到后可以接到任一个空闲的接话员的上，试问该公司应安装 多少台接话员的，使得订货因占线而损失的概率不超过 10%。
解：这是一个 M / G / C / C / ∞模型当 c=n=3 时，即正好有 3 位顾 客的情况，3 p3 = 3 ∑ (λ / μ ) /3 i ! i =0(λ / μ ) / 4! ∑ (λ / μ )/ i!(16 / 8) / 24 (16 / 8) /1 + (16 / 8) /1 + (16 / 8) / 2 + (16 / 8) / 6 + (16 / 8) / 24512管理运筹学§7多服务台泊松到达、任。