第1页（共 9页） 2000 年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（文史类） 考生注意：本试卷共有22 道试题，满分150 分 一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零 分 1已知向量12OA、mOB,3，若ABOA，则m 2函数 x x y 3 12 log 2 的定义域为 3圆锥曲线1 916 )1( 22 yx 的焦点坐标是 4计算： n n n n ) 2 (lim 5已知bxf x 2)(的反函数为)( 1 xf ，若)( 1 xfy的图象经过点)2, 5(Q，则b 6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成GDP（GDP 是指国内生产总 值） 4035 亿元， 2000 年上海市 GDP 预期增长9%， 市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%， 若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的 2倍， 至少需年 （按： 1999 年本市常住人口总数约1300 万） 7命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。
8设函数)(xfv是最小正周期为2 的偶函数， 它在区间 0，1上的图象为如图所示 的线段 AB，则在区间 1， 2上，)(xf= 9在二项式 11 )1(x的展开式中，系数是小的项的系数为 （结果用数值表示） 10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1、2 和 3，现任取出3 面，它们的颜色与号码不相同的概率是 11图中阴影部分的点满足不等式组 0,0 62 5 yx yx yx ，在这些点中，使目标函数yxk86取得最大 值的点的坐标是 12 在等差数列 n a中，若0 10 a， 则有等式),19( 192121 Nnnaaaaaa nn 成立， 类比上述性质，相应地：在等比数列 nb 中，若1 9b ，则有等式成立 第2页（共 9页） 二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有 一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过 一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分 13函数) 2 , 2 )( 2 sin(xxy是 （A）增函数（B）减函数（C）偶函数（D）奇函数 答（） 14设有不同的直线a、b和不同的平面a、、，给出下列三个命题： （1）若aa//，ab//，则ba//。
（2）若aa//，//a，则//a （3）若a，，则//a 其中正确的个数是 （A）0 （B） 1 （C）2 （D）3 答（） 15若集合TSRxxyyTRxyyS x 则,, 1|..3| 2 是 （A）S（B）T（C）（D）有限集 答（） 16下列命题中正确的命题是 （A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则 5 52 sin a （B）同时满足 2 3 cos, 2 1 sinaa的角a有且只有一个 （C）当1|| a时，)(arcsin atg的值恒正 （D）三角方程3) 3 (xtg的解集为Zkkxx,| 三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （本题满分12 分） 已知椭圆C 的焦点分别为)0,22( 1 F和)0,22( 2 F，长轴长为6，设直线2xy交椭圆 C 于 A、B 两 点，求线段AB 的中点坐标 解 18 （本题满分12 分） 如图所示四面体ABCD 中， AB、BC、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2 ，E 是 AC 中 第3页（共 9页） 点，异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为 10 10 arccos，求四面体ABCD 的体积。
解 19 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 个小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 已知函数, 1 , 2 )( 2 x x axx xf （1）当 2 1 a时，求函数)(xf的最小值 （2）若对任意, 1x，0)(xf恒成立，试求实数a的取值范围 解（1） 解（2） 20 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分10 分 根据指令),(r)180180,0(r ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正 时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转） ，再朝其面对的方向沿直线行走距离r （1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4， 4） （2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原 点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2 倍，若忽 略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器 人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位） 解（1） 解（2） 21 （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分。
在XOY平 面 上 有 一 点 列,),,(,),,(),,( 222111nnn baPbaPbaP对 每 个 自 然 数n， 点 n P位 于 函 数 )100() 10 (2000a a y x 的图象上，且点 n P，点)0,(n与点)0 , 1(n构成一个以 n P为顶点的等腰三角形 （1）求点 n P的纵坐标 n P的表达式； （2）若对每个自然数n，以 n b， 1n b， 2n b为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； （3）设))((1Nnbgc nn ，若a取（ 2）中确定的范围内的最小整数，问数列 n c前多少项的和最大？ 试说明理由 解（1） 解（2） 第4页（共 9页） 解（3） 22 （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分8 分 已知复数yixzmmiz),0(1 0 和，其中yxyx,,,均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z， 有iyx 0 zzw，||2||zw （1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式： （2）将（x、y）用为点P的坐标， (x、y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一 个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q。
已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为)2,3(，试求点P的坐标； （3）若直线kxy上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求 k的值 解（1） 解（2） 解（3） 第5页（共 9页） 2000 年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准 说明 1本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进 行评分 2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答 在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面 部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 3第 17 题至第 22 题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数给分或扣分均 以 1 分为单位 解答 一、 （第 1 题至第 12 题）每一题正确的给4分，否则一律得零分 14 2)3 , 2 1 (3 （ 4，0） ， （6，0）4 2 e 51 69 7侧棱相等 /侧棱与底面所成角相等/8x 9 462 10 14 1 11 （0， 5） 12),17( 172121 Nnnbbbbbb nn 二、 （第 13 题至第 16 题）每一题正确的给4 分。
题号13 14 15 16 代号C A A D 三、 （第 17 题至第 22 题） 17解 设椭圆 C 的方程为1 2 2 2 2 b y a x （ 2 分） 由题意3a，22c，于是1b 椭圆 C 的方程为1 9 2 2 y x （ 4 分） 由 1 9 2 2 2 y x xy 得0273610 2 xx 因为该二次方程的判别0，所以直线与椭圆有两个不同交点 8 分） 设),(),,( 2211 yxByxA 则 5 18 21 xx， 第6页（共 9页） 故线段 AB 的中点坐标为) 5 1 , 5 9 (（ 12 分） 18解法一 如图建立空间直角坐标系，（ 2 分） 由题意，有)0,2, 0(A，)0,0,2(C，)0, 1 , 1(E 设 D 点的坐标为), 0,0(z)0(z， 则 0.1 .1BE ， zAD, 2, 0 （ 6 分） 则2cos42 2 zBEAD， 且BEAD与所成的角的大小为 10 10 arccos 10 1 4 2 cos 2 2 z ， 得4z，故 BD 的长度是4，（ 10 分） 又BDBCABVABCD 6 1 ， 因此四面体ABCD 的体积是 3 8 ，（ 12 分） 解法二 过 A 引 BE 的平行线，交 CB 的延长线于F， DAF是异面直线BE 与 AD 所成 的角。
DAF= 10 10 arccos，（ 4 分） E 是 AC 的中点， B 是 CF 的中点， AF=2BE=226 分） 又 BF， BA 分别是 DF，DA 的射影，且BF=BC=BA ， DF=DA （ 8 分） 三角形 ADF 是等腰三角形， AD= BDBCAB DAF AF 6 1 V 20 cos 1 2 ABCD 故 ，（ 10 分） 因此四面体ABCD 的体积是 3 8 （ 12 分） 19解 （1）当 2 1 a时，2 2 1 )( x xxf， )(xf在区间 , 1上为增函数，（ 3 分） 第7页（共 9页） )(xf在区间 , 1上的最小值为 2 7 )1(f（ 6 分） （2）解法一 在区间的 , 1上， 0 2 )( 2 x axx xf的恒成立02 2 axx恒成立，（ 8 分） 设, 1,2 2 xaxxy， 1)1(2 22 axaxxy递增，当1x时，ay3 min ，（ 12 分） 于是当且仅当03 min ay时，函数0)(xf恒成立， 故3a（ 14 分） （2）解法二 ,1 .2)(x x a xxf， 当0a时，函数)(xf的值恒为正，（ 8 分） 当0a时，函数)(xf递增， 故当 1x 时，03)( min axf，（ 12 分） 于是当且仅当03)( min axf时， 函数0)(xf恒成立， 故3a（ 14 分） 20解 （1）24r，45， 得指令为)45,24(，（ 4 分） （2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球（6 分） 则因为小球速度是机器人速度的2 倍， 所以在相同时间内有 ,)40()4(2|17| 22 xx（ 8 分） 即016123 2 xx 得7 3 23 xx或。
要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短， 7x 故机器人最快可在点)0, 7(P处截住小球，（ 10 分） 第8页（共 9页） 所给的指令为)13.98,5( （ 14 分） 21解 （1）由题意， 2 1 nan， 2 1 ) 10 (2000 n n a b（ 4 分） 解（2）函数 x a y) 10 (2000递减， 对每个自然数n，有 n b 1n b 2n b， 则以 n b， 1n b， 2n b为边长能构成一个三角形的充要条件是 2n b+ 1n b n b， 即01) 10 () 10 ( 2 aa ，（ 7 分） 解得) 15(5)51(5aa或， 10)15(5a（ 10 分） 解（3）10) 15(5a， 7a， 2 1 ) 。