贵阳市第一中学 杨祖华 E-mail:yearnfang@ 10vxyαo•vxvyvSsθvθ(),A x y00sincosyxvvgtvvαα=−=Aiii(图 1-1) Svv⊥v?90svθ°(图 1-3) QP精解物理奥赛中的抛体问题（部分）精解物理奥赛中的抛体问题（部分） 求解抛体运动的一般方法：求解抛体运动的一般方法：法一，把抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体 运动来求解；法二，建立以水平方向为x轴，竖直方向为y轴的直角坐标系，利用抛体运动的轨迹方程求解；法三，建立适当直角坐标系，把抛体运动在两坐标轴上分解后列方程求解；法四，使用运动的相关定 性知识点并结合前面三种方法求解 1.《新编高中物理奥赛题典》13 页 16 题：最大与地面成什么角度抛出石子，才能使石子在运动过程中始 终远离抛出点？（不计空气影响） 解：解：(法一法一) 如图 1-1，设石子被抛出的初速度为0v，抛射角(初速度与水平方向的夹角)为α；如图 1-2 和 1-3，把速度v?分解为垂直于位移和平 行于位移的两个分速度，其中， a.当位移S? 与速度v?的夹角小于90°时，平行于位移的分速度与位移同向，故位移大小将会进一步增大，如图 1-2； b.当位移S? 与速度v?的夹角大于90°时，平行于位移的分速度与位移反向，故位移大小将会进一步减小，如图 1-3； c.当位移S? 与速度v?的夹角等于90°时， 平行于位移的分速度为零，这一时刻是位移由大变小的临界点临界点. 由以上 a、b 和 c 的讨论可知，当位移S? 与速度v?的夹角90svθ≤°时，石子始终远离抛出点； 在小球从抛出点o运动到顶点P的过程中， 显然，90svθ≤°恒成立，即小球始终远离抛出点；在小球从顶点P开始以后的运动过程中， 要使90svθ≤°成立， 则要求vsθθ≥（从图 1-1 可推知） ，即有tantanvsθθ≥，也即是 22 000002cossin2tantansincosyx vs xyv tgtvvv tgty gtvxv tv tvααθθαα⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟==≥===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠， 即2 002 2200 00 000011sinsincoscos223sin20sincossincosv tgtvgtvvg tgv tvgtvv tgtvvααααααααα−− ≥⇒≥⇒−+≥−−，(1) (1)式是关于t的一元二次不等式，其成立的条件是关于t的一元二次方程2 22 003sin20g tgv tvα−+=的判别式0Δ ≤，即222222 009sin80sin8 9g vg vαα−≤⇒≤，又因α为锐角，故arcsin8 9α≤. 解：解：(法二法二)以抛出点为原点o，水平方向为x轴，竖直向上为y轴建立笛卡尔坐标系（即直角坐标系） ；因石子在水平方向上不受外力作用，故石子在水平方向上做匀速直线运动，即在x上有xxv t=，即是 0cosxv tα=， (1) 贵阳市第一中学 杨祖华 E-mail:yearnfang@ 20vxyα oS?i(图 1-4) 1s?2s?β因石子在竖直方向上只受重力作用，故石子在该方向做竖直上抛运动，即在y上有2 01 2yyyv ta t=+，即 2 01sin2yv tgtα=−(显然是以y轴正向为正方向)， (2) 联解(1)和(2)可得到石子斜抛的轨迹方程为 2 22 0tan2cosgyxxvαα=−， (3) 如图 1-1， “石子始终远离抛出点”这一条件等价于“轨迹上任意点(),A x y到原点()0,0o的距离l是关于x或y的增函数” ，即是22lxy=+是关于x或y的增函数，考虑到(3)式可以得到 22 222234 2222344 0001sintan2coscoscos4cosggglxxxlxxxvvvαααααα⎛⎞=+−⇒=−+⎜⎟⎝⎠， ( )( )()()()222222324 24 00sin1tan1tan1tancos4ggL xlxxxxvvααααα⇒==+−+++， (4) 在(4)式中， 应用了22 2 221cossin1tancoscosααααα+== +； 在(4)式中，( )L x是增函数的条件是： 函数( )L x对x的一阶导数大于等于零（等于零是临界点） ，即是 ( )( )()()()2222223 24 003 sin2 1tan1tan1tan0cosdggL xL xxxxdxvvααααα′==+−+++≥, 即有: ()()2 222 24 003 sin1tan21tan0cosggxxxvvαααα⎡⎤+−++≥⎢⎥⎣⎦, 在该问题中，x恒大于零，故有 ()22 222 42422 00003 sin3 sin1tan2020coscoscosggggxxxxvvvvαααααα+−+≥⇒−+≥， (5) (5)式成立的条件是关于x的一元二次方程2 2 422 003 sin20coscosggxxvvα αα−+=的判别式小于等于零，即是 22 2 242 003 sin840coscosggbacvvα αα⎛⎞Δ =−=−≤⎜⎟⎝⎠，即是2sin8 9α≤，又因α为锐角，故arcsin8 9α≤. 解：解：(法三法三)如图 1-1，设石子被抛出的初速度为0v，抛射角为α，把石子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，如图 1-4，因10sv t=，2 22sgt=，由余弦定理可得222 121 22cosssss sβ=+−，即是 ()()()22 22 42 00422 cos 90sv tg tv tgtα=+−⋅°− 即得()22 432 2 004cos 90sg tgv tv tα=−°−+， “石子始终远离抛出点”这一条贵阳市第一中学 杨祖华 E-mail:yearnfang@ 3件等价于函数( )()2 432 2 001cos 904L tg tgv tv tα=−°−+是增函数，即是要求( )0L t′≥，即是 ()()()2 3222 22 00003cos 90203cos 9020g tgv tv tt g tgv tvαα−°−+≥⇒−°−+≥，因0t >，故有 ()()2 22222222 00003cos 9020409cos9080g tgv tvbacg vg vαα−°−+≥⇒ Δ =−≤⇒°−−≤，即是 ()22cos908 9sin8 9αα°−≤⇒≤，又因α为锐角，故arcsin8 9α≤. 2.《新编高中物理奥赛题典》15 页 19 题：一枪从同一地点发出两颗子弹，发射的时间间隔为tΔ，若两子弹在同一平面内运动，证明两 子弹相遇的条件是 () ()12012sin22cos2g t vαααα−⎡⎤Δ⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦， 其中，1α、2α是两次发射子弹的仰角，0v是发射的初速度， 如图 2-1。
证：证：(法一法一)依题意，仰角为1α的子弹先发射，仰角为2α的子弹后发射，从以仰角1α发射子弹时开始计时，当两子弹相遇时，两子弹在水平方向上和竖直方向上的位移分别相等，即是 在x上：()()()120102coscosxxvtvttαα=⇔=−Δ， 221cos coscosttα ααΔ⇒ =−；121cos coscostttα ααΔ−Δ =−(1) 在y上：()()()()22 12010211sinsin22yyvtgtvttg ttαα=⇔−=−Δ−−Δ， (2) 把(1)式代入(2)式计算得到 ()()()()222211 0102 212121212222 21 012021 212101coscoscoscossinsin,coscos2coscoscoscos2coscoscoscos11sincossincos,2coscos2coscossincosttttggvvttvtgvtgvtααααααααααααααααααααααααα⎛⎞⎛⎞ΔΔΔΔ−=−⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠ ΔΔ⇒Δ−=Δ−−−⇒Δ()()()()()() ()()() ()22 221 221 2112 1212 012012121200121212coscos1sincos,2coscossinsincoscos,2coscos22sin2 cos2sin2,222cos2 cos2cos2g tg tg t vvg tg t vvααααααααααααααααααααααααααα−−=Δ−−ΔΔ⇒−=+⇒=+−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤ΔΔ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⇒=⇒=+−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证毕.证：证：(法二法二)依题意，仰角为1α的子弹先发射，仰角为2α的子弹后 发射，从以仰角1α发射子弹时开始计时，当两子弹相遇时，两子 弹在水平方向上和竖直方向上的位移分别相等，即是 i0v0v2α(),Mx yo 图 2-1 x1αy1α2α OMOAs?OBs?AMs?BMs?AB⋅图 2-2 贵阳市第一中学 杨祖华 E-mail:yearnfang@ 4在x上:()()()120102coscosxxvtvttαα=⇒=−Δ221cos coscosttα ααΔ⇒ =−,121cos coscostttα ααΔ−Δ =−. (1) 斜抛运动可以被分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直向下方向的自由落体运动，如图 2-2，当第一颗子弹到达相遇点(),M x y时，它的实际位移（合位移）OMO AAMsss=+???，显然，0O Asv t=?，21 2AMsgt=?；当第二颗子弹到达相遇点(),M x y时，它的实际位移（合位移）OMOBBMsss=+???，显然，()0OBsvtt=−Δ?，()21 2BMsg tt=−Δ?. 如图 2-2，在三角形OAB中，由余弦定理有()222 122cosABOAOBOA OBαα=+− ⋅⋅⋅−，因为 ()2211 22AMBMABssgtg tt=−=−−Δ??；0O AOAsv t==?；()0OBOBsvtt==−Δ?，所以 ()()()()()()2 2222 000012112cos22gtg ttv tvttv tvttαα⎡⎤−−Δ=+−Δ−−Δ−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦， (2) 把(1)式代入(2)式整理得到 ()2222121212202010201 12 2121212122coscos11 2coscos2coscoscoscoscoscos2coscoscoscoscoscoscoscoscos1 4coscosttggvtvtvtvttgαα ααααααααααααααααααα⎡⎤⎛⎞⎛⎞ΔΔ⎢⎥−⎜⎟⎜⎟−−⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ΔΔΔΔ=+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠Δ⇒−()()() ()4 222 21 12202010201 12 2121212142222 21212 0212coscoscoscoscoscos2coscoscoscoscoscoscoscoscos1coscoscoscos4coscos。