不确定下的均值—方差分析,（投资组合选择理论）,处理不确定性的三种数学方法,预期效用函数分析 基于偏好假定，非常完美 但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能 均值—方差分析：投资组合理论 尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以） 避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验 套利分析：APT 基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定 简化计算，使用方便，可以检验 方法论的里程碑,马科维茨(H. Markowitz, 1927～) 《证券组合选择理论》 有着棕黄色头发，高大身材，总是以温和眼神凝视他人，说话细声细语并露出浅笑 瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（Harry Markowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作—资产组合选择理论发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法 Mean-Variance methodology. 这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础. 这一理论通常被认为是现代金融学的发端. 这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融领域。
马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合,酝酿了一系列金融学理论的重大突破主要贡献,西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段 1952年，Harry Markowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志 1963年，Willian Sharpe提出了单指数模型 1964年，Sharpe，Lintner, Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型（CAPM） 1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式 1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)证券投资理论的发展,投资组合理论的基本思想,投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险 ——“nothing ventured, nothing gained” ——“for a given level of return to minimize the risk, and for a given level of risk level to maximize the return“ ——“Don’t put all eggs into one basket”,实现方法,收益——证券组合的期望报酬 风险——证券组合的方差 风险和收益的权衡——求解二次规划,均值与方差,均值就是所有数的平均数，就是把所有数都加起来再除以个数 方差就是把每个数减去它们的平均数再平方，把这些平方加起来再除以个数 方差表示统计数据的离散程度,马科维兹投资组合理论的假设,1.单期投资 单期投资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。
单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础 2.投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件3.资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+CW2 （注意：假设2和3成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数） 4.投资者以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差 5.投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券一、一些基本定义,回报率r定义为：r=（X1-X0）/X0 显然 R=1+r,假设你在时间0以价格X0购买一种资产，一年后你卖出这种资产，得到收益X1你面对的不确定性，或者说风险，体现为收益X1的不确定性你的投资的总回报R定义为,R=X1/X0,,,由于期末的收益是不确定的，所以总回报R、回报率r均为随机变量价格与回报率之间是一一决定的关系字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值； 例如，R（或者 ）表示随机总回报，而 表示期望总回报。
当我们投资在不只一种资产上时，需要考虑证券组合的回报率，假设有n种可得的不同资产，我们把初始财富X0分成n份，投资到这n种资产上，设Xi0为投资在第i种资产上的财富， ； 如果以比例表示，则为 ， 为投资在第i种资产上的财富的份额， ，以Ri、ri分别表示第i种资产的总回报、回报率，那么到期末，由i产生的收益为Ri Xi0或 该证券组合的总收益为 ，因此，该证券组合的总回报为 它的回报率为,假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富W0为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%、24.6%和22.8%这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为（46.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因为（43.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因为（76.14-62）/62=22.8%]证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果1）证券和证券组合的值,（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率,（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率,无摩擦市场,在一个非常理想的证券市场中，没有交易成本、税收、也可以以无风险利率无限制借、贷，证券的份数是无限可分的。
我们把这种市场称为无摩擦市场二、期望效用分析与均值－方差分析的关系,一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体做选择时所需要的全部信息 但在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产回报的均值和方差的函数，从而投资者投资者可以只把均值和方差作为选择的目标 条件为：预期效用函数为二次效用函数或者资产回报服从正态分布,假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富 带来的期望效用设个体的Von-Neumann-Morgenstern效用函数为u，在期末财富的期望值这一点，对效用函数进行Taylor展开：,,假设上述Taylor展开式收敛且期望运算和求和运算可以交换顺序，则个体的期望效用函数可以表示成：,上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方差，还依赖于财富的高阶矩但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数定理4.1 如果u是一个整解析函数，则,（a）对任意分布的期末财富 ，存在函数 使得 当且仅当 这里， 为常数,（b）对任意偏好函数u，如果期末财富 服从正态分布，则存在函数 ，使得,下面的定理证明了：当预期效用函数为二次函数或者资产回报服从正态分布时，均值—方差与预期效用函数等价，可以完全刻画投资者的偏好特征。
定理1 如果 则期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数,定理2 如果期望财富服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数二次效用函数的假设和正态分布的假设不符合实际的消费者投资情况,因为二次函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性质满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符此外，正态分布的中心轴对称与一般股票的有限责任不一致 注：均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验重要的性质,定理4.2 当资产的回报率r服从以 为均值、以 为标准差的正态分布时，风险厌恶者的回报与风险之间的替代率是正的，无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高 证明过程：见P75-77（先证明的是边际替代率为正，然后是无差异曲线是凸的）,4.3 投资组合收益和风险的度量,设一项投资组合含有n项风险资产，令：,: 风险资产i的随机收益率；,：风险资产i的期望收益率 ， ；,： 的方差；,：风险资产i和j的收益间的相关系数；,：风险资产i和j的收益间的协方差；,则有,即,从“历史”样本估计收益和风险,：投资组合收益的期望值 ；,：投资组合收益的方差。
投资组合中风险资产i所占的百分比；,：投资组合的随机收益率；,相关系数,与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积 证券A与B的相关系数为,测量两种股票收益共同变动的趋势: Corr(RA, RB) 或 A,B -1.0 +1.0 完全正相关: +1.0 完全负相关: -1.0 完全负相关会使风险消失 完全负相关不会减少风险 在 -1.0 和 +1.0 之间的相关性可减少风险 但不是全部,若n=2时，,若再假定其中一项如第２项是无风险资产，则有,从上式解得,如果现在市场的无风险利率是６％，资产１的预期收益率是１４％，标准差是２０％现在我们希望组合的预期收益率是１１％，则组合的构成和风险将是多少？,例 子,假设我们要构造一个能源投资的Ace组合,我们选择了雪佛龙德士古(Chevron Texaco)石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司.由于燃料电池提供了替代汽油的清洁能源,所以,这两家公司的股票价格运动方向相反.我们设 ,对两家公司各投资50%.雪佛龙德士古公司股票的标准差和预期回报分别是： ，巴罗德公司股票的标准差和预期回报分别是：,求解Ace组合的标准差和预期回报：,即,将 分解如下：,第一部分是只与单个方差项相关的风险，称为非系统性风险；第二部分是由各项资产收益间的相关性所带来的风险，称为系统性风险（或市场风险）。
4.4 风险的分散化,由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差 随着组合种证券数目的增加，在决定组和方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素 风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“白吃的午餐”将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率，这是马科维茨的主要贡献讨论1：当 时，有 ，,若令 ， 则有 ，,其中 表示投资组合中收益率方差的平均值，故,表明：当资本市场上证券种类足够多时，等比例投资n种证券的组合风险趋于零讨论2：一般情况即当 时若仍等比例投资n种证券，即 ，则有,表明：当资本市场上证券种类足够多时，投资组合的非系统风险随组合中证券数目的增加而下降，但协方差对组合风险的贡献趋于协方差的平均值 故,证券组合消除的是非系统性风险，系统性风险不能消除,非系统风险是企业特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败，等等。
可称为可分散风险、特有风险、特定资产风险 非系统性风险主要通过分散化减少，因此由许多种资产构成的组合将几乎不存在非系统性风险. 系统风险是指整个市场承受到的风险，如经济的景气情况、市场总体利率 水平的变化等因为整个市场环境发生变化而产生的风险可称为不可分散风险、市场风险系统性风险影响所有的资产，不能通过分散化来去除,总风险 = 系统性风险 + 非系统性风险 对于一个好的分。