正方形“ 半角”性质及应用举例 徐骏 性质1: 如图1， 在正方形ABCD中， 点E， F分别是AD， CD边 上的一点( 点E不与点A， D重合) ， 且EBF = 45， BE， BF分别 交 AC 于点 G， H， 则 AG2+ CH2= GH2 图 1 图 2 证明: 如图 2， 把 ABG 沿 BE 翻折后， 得到 PBG， 连结 PH， 则 PBG ABG， 所以 BPG = BAG = 45， PBG = ABG， PG = AG， BP = BA = BC， 又 HBC = ABC EBF ABG = 45 PBG = HBP， BH = BH， 则 BPH BCH( SAS) ， 所以BPH = BCH = 45， PH = CH， 则GPH = BPG + BPH = 90， 所以PG2+ PH2= GH2， 即AG2+ CH2 = GH2 性质2: 若在图1 中， 连结EF， 过点B作BMEF于点M( 如 图 3) ， 则 BM = 1 2 DEF 的周长， SBGH= 1 2 SBEF 图 3 图 4 证明: 如图 4， 把 ABE 沿 BE 翻折后， 得到 MBE， 连结 FM， 则 MBE ABE， 所以 BME = BAE = 90， MBE = ABE， ME = AE， BM = BA = BC， 又 FBC = ABC EBF ABE = 45 MBE = FBM， BF = BF， 则BMF BCF( SAS) ， 所以 BMF = BCF = 90， MF = CF， 于是 BME + BMF = 180， 所以E， M， F三点共线， 此时BMEF， 故 EF = ME + MF = AE + CF， 从而可得 DEF 的周长 = AD + CD = BA + BC = 2BM， 所以 BM = 1 2 DEF 的周长 如图 5， 连结 BD， 交 AC 于点 O， 则 BD AC， BO = 槡 2 2 BA = 槡 2 2 BM 由BM = BC， BF = BF， 得tBFMtBFC( HL) ， 则 BFM = BFC 由ABCD， 得ABH = BFC = BFM 由 GBH = BAH = 45， BHG = AHB， 得 BHG AHB， 则 BGH = ABH = BFM， 又GBH = FBE， 得BGH BFE， 故 SBGH SBFE = ( BO BM) 2 = ( 槡 2 2 ) 2 = 1 2 ，所以 SBGH= 1 2 SBEF 图 5 图 6 性质 3: 若在图 1 中， 连结 DG， FG， EH， DH( 如图 6) ， 则 BGF = BHE = 90， DG = BG = FG， DH = BH = EH 证明: 由 GBH = FCH = 45， BHG = CHF， 可得 BGH CFH， 则 BGH = CFH， BH CH = GH FH ， 即 BH GH = CH FH， 又 BHC = GHF， 故 BCH GFH， 则 CBH = FGH， 于是 BGF = BGH + FGH = CFH + CBH = 90， BFG = 90 FBG = 45 = FBG， 所以BG = FG 由AB = AD， BAG = DAG， AG = AG， 得ABGADG( SAS) ， 则DG = BG = FG 同理可得 BHE = 90， DH = BH = EH 图 7 例 1( 2012 年山东东营， 有改动) 如图7， 在四边形 ABCD 中， AD BC( BC AD) ， B = 90， AB = BC， E 是 AB 上 一点， 且DCE = 45， BE = 2， ADE的 周长为 12， 则 DE = 分析: 如图8， 过点 C 作 CF AD， 交 AD 的延长线于点 F 易证四边形 ABCF 为正方形， 由性质2 可知DE = BE + DF， 则正方形 ABCF的边长 = ADE 的周长 2 = 6， AE = 4 设 DE = x， 则 DF = x 2， AD = 8 x 在 tADE 中， AE2 + AD2= DE2， 即 42+ ( 8 x) 2 = x2， 解得 x = 5， 故 DE 的长为 5 若在图8中， 连结BF， 分别交CE， CD于点G， H( 如图9) ， 则 S四边形DEGH= SCGH= 1 2 SCDE= 1 2 1 2 ED BA = 1 4 5 6 = 15 2 4 图 8 图 9 例2如图10， 在正方形ABCD中， 点E， F分别是AD， CD边 上的一点( 点E不与点A， D重合) ， 且EBF = 45， BE， BF分别 交 AC于点G， H， 连结FG， 过点F作FNAC于点N 求证: GN = 1 2 AC 图 10 图 11 分析: 由性质 3 可知 BGF = 90， BG = FG 如图 11， 连结 BD， 交 AC 于点 O， 则 BOG = 90， BO = 1 2 BD， BD = AC 由 FN AC， 可得 GNF = 90 = BGF， 即 NGF + GFN = NGF + BGO， 可得 GFN = BGO， 又 GNF = BOG = 90， GF = BG， 则 GNF BOG( AAS) ， 所以 GN = BO = 1 2 BD = 1 2 AC 例3 ( 2015 年浙江台州， 有改动) 定义: 如图12， 点M， N把 线段 AB 分割成 AM， MN 和 BN， 若以 AM， MN， BN 为边的三角形 是一个直角三角形， 则称点 M， N 是线段 AB 的勾股分割点 已知 点 C 是线段 AB 上的一定点， 其位置如图 13 所示， 请在 BC 上画 一点D， 使C， D是线段AB的勾股分割点( 要求尺规作图， 保留作 图痕迹， 画出一种情形即可) 图 12 图 13 分析: 若点 C， D 是线段 AB 的勾股分割点， 则以 AC， CD， BD 为边的三角形是一个直角三角形 因为 AC 1 2 AB， 所以 AC 不 可作为斜边， 只能是 BD 为斜边或 CD 为斜边 若 BD 为斜边 如图14， 过点 C 作线段 AB 的垂线 l， 在直线 l 上截取 CE = AC， 连结BE， 作线段BE的垂直平分线， 交AB于点 D， 则点 D 就是所求作的点 若CD为斜边 如图15， 作线段AB的垂直平分线l， 交AB于 点 E， 在直线 l 上截取 FE = AE， 连结 AF， CF， 在直线 l 的右侧作 图 14 图 15 EFG = AFC， FG 交 AB 于点 D 由性质1 可知， 因为点 F 为以 AB 为斜边的等腰直角三角形 的直角顶点， 且满足CFD = AFE = 1 2 AFB = 45， 从而可 得 AC2+ BD2= CD2， 所以点 D 就是所求作的点 例 4( 2010 年宁夏， 有改动)如图 16， 在 ABC 中， 已知 BAC = 45， AD BC 于点 D， BD = 2， CD = 3，则 AD = 图 16 图 17 分析: 如图17， 把ABD和ACD分别沿AB， AC翻折后， 得 到 ABE 和 ACF， 分别延长 EB 和 FC 交于点 G， 则 ABD ABE， ACD ACF， 所以BE = BD = 2， CF = CD = 3， E = ADB = 90， F = ADC = 90， EAB = DAB， FAC = DAC， 又BAC = 45， 可得EAF = 2BAC = 90， 又AE = AD = AF， 所以四边形 AEGF 是正方形 设 AD = x， 则 AE = EG = GF = x， BG = x 2， CG = x 3 在 tBGC 中， BG2+ CG2= BC2， 即( x 2) 2 + ( x 3) 2 = 52， 解得 x1= 6， x2= 1( 不合题意， 舍去) ， 故 AD 的长为 6 通过以上问题的探究， 我们可以发现， 解答此类问题时需立 足正方形中的 “半角”模型， 即寻找正方形与一个度数为 45 的 角组成的基本图形( 其中角的顶点与正方形的一个顶点重合， 角的两边与正方形的两边分别相交) 若对该模型的本质有较 深刻的理解， 便可迅速地找到解题思路: 即将图形添补成一个正 方形， 并联想关于这个模型的多个结论， 解题时也就不会出现无 从下手的尴尬 浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学 ( 312352) 5 。