七年级上数学思维拓展训练 第一章 兴趣数学 七桥问题（一笔画问题）18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形这就是说，七桥问题是无解的这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形欧拉定理 ： 如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出一笔画：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出奇点数除以二便可算出此图需几笔画成)练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看不走重复线路）图例1图例2图例3图例4第二章 绝对值知识回顾：绝对值的意义（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。
1、 绝对值的常用性质：⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a﹙a＞0﹚则x＝±a.⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)²＝|a²|﹦a²⑹|ab|﹦|a|•|b| ⑺|﹙b≠0﹚解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用☆教学过程：【基础知识检测：】1、有理数的绝对值一定是 （ ）A、正数 B、整数 C、正数或零 D、自然数2、绝对值等于它本身的数有 （ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个3、等于 （ ） A、3 B、－3 C、 D、4、若a与2互为相反数，则|a＋2|等于( ) A、0 B、－2 C、2 D、45、 |x|=2,则这个数是（ ）A.2 B.2和－2 C.－2 D.以上都错6、 | a|=－ a，则a一定是（ ）7、 A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）A.－m B.m C.±m D.2m8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）A.正数 B.负数 C.正数、零 D.负数、零9、-4的的相反数是___,-4的倒数是___,-4的绝对值是___,-4倒数的相反数是___,-4倒数的绝对值是___,-4倒数的相反数的绝对值是___10、当时，＝_________，当时，＝_________，、如果，则＝__________，＝___________.【典例解析：】★ 一.求未知数例1：若，则 。
若，则 思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？ 变式1:若，则 ；若，则 ；若，则 ；变式2：，则 若，则 ★ 二.非负数的性质应用例2：若，则 思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？变式：1：非负数类型玩花样：若，则 变式：2：变量个数不断增加：若，则 总结：若干非负数之和为0， ★ 三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点所表示的数为，则两点间的距离为例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为 ________________.（3）结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 ___.（4） 满足的的取值范围为 ______ .（5）若的值为常数，试求的取值范围．★ 四.绝对值的最值问题例4.（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。
4）求的最小值2）当b为______时，5-有最大值，最大值是_______当a为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.（3） 已知，设，求M 的最大值与最小值．（4） 利用数轴分析，可以看出，这个式子表示的是到2的距离与到的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当 时，发现，这两条线段的和随的增大而越来越大；⑵当 时，发现，这两条线段的和随的减小而越来越大；⑶当 时，发现，无论在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小因此，总结，有最小值 ，即等于 到 的距离（5） 利用数轴分析，这个式子表示的是到的距离与到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当 时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当 时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；⑶当 时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零 因此，总结，式子当 时，有最大值 ；当 时，有最小值 ；★ 五.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）例5：阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。
在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1） 当时，原式=;（2）当时，原式=；（3）当时，原式=综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 先分别求出和的零点值，再化简（2） 已知的最小值是，的最大值为，求的值3） 如果2x＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x的取值范围课后练习】1、若，则x＝__________；若，则x＝__________；若，则x＝__________.2、若|m－1|=m－1,则m_______1;若|m－1|>m－1,则m_______1;3．若实数、y满足2002(x一1)2 ，则 ．4. 若与互为相反数，则与的大小关系是( )． A． B． C． D．5.若与互为相反数，求的值6.先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜．7.当a为_____时，3＋|2a－1 |有最小值是________；当b为______时，1- | 2＋b|有最大值是_______.8.的最小值是（ ）A． 2 B．0 C．1 D．-1★★★9. ⑴求当取何值时，有最小值，最小值是多少。
⑵求当取何值时，有最小值，最小值是多少 第三章 整式的加减【典型例题】★类型一：整体代入法例1、若代数式的值是，求代数式的值 例2、 设和均不为零, 和是同类项,求例3、当时，代数式的值是3，求当时，代数式的值.例4、 设，其中、、为常数，已知，求的值.例4、已知多项式中，为常数，当时，多项式的值是1；当时多项式的值是2.若是8和时，多项式的值分别是、,求的值★类型二：降次法例5、（1999年北京竞赛题）若，求代数式的值 变式练习、若___________例6、已知为有理数，且，求代数式的值. 1、如果代数式的值为，求代数式的值2、已知，求代数式的值3、（16届希望杯数学竞赛题）已知求代数式的值4、如果求代数式的值5、已知代数式，当时的值为2；当时的值为1，求当时，代数式的值6、当，代数式的值等于，那么当时，代数式的值是多少？7、如果对于某一特定范围内的任意允许值，的值恒为一个常数请求出这个常数第4章 动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学。