《几何与代数》第六章二次型与二次曲面4

几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,,,第六章 二次型与二次曲面,球面、旋转曲面、柱面、锥面,A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0,x2 + y2 = 2pz,x2 + y2 = k2 z2,y2 = 2px,,,球面:,旋转曲面,,r=3,r=2,柱面,r=2,r=1,锥面：,一直线过定点沿一条定曲线移动所产生的曲面,,,,§6.3 二次曲面,一. 二次曲面的标准方程,第六章 二次型与二次曲面,§6.3 二次曲面,1. 椭球面,,b,c,当a = b = c = R时——半径为R的球面,当a, b, c中有两个相等时——旋转椭球面,x = 0,,y = 0,,z = 0,,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,2. 单叶双曲面,,,x = 0,,y = 0,,z = 0,,当a, b相等时——旋转单叶双曲面,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,3. 双叶双曲面,,x = 0,,y = 0,,z = 0,,当a, b相等时——旋转双叶双曲面,无交,z = k, |k|>c,,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,4. 二次锥面,,,,,,x = 0,,y = 0,,z = 0,,当a, b相等时——圆锥面,z = k,,(0,0,0),,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,5. 椭圆抛物面,,x = 0,,y = 0,,z = 0,,,,当a, b相等时——旋转抛物面,(0,0,0),z = k>0,,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,,6. 双曲抛物面,(a>0, b>0),(马鞍面),y2 = 2b2z,x = 0,,y = 0,,z = 0,,x2 =2a2z,,,当a, b相等时也不是旋转曲面,z = k,,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,7. 椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面 x2 = 2py (p > 0),,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,二. 一般方程表示的二次曲面,a11x2 + a22y2 + a33z2,+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,+ b1x + b2y + b3z + c = 0,一般方程,二次型,xTAx,+ + c = 0,BTx,,,,第六章 二次型与二次曲面,§6.3 二次曲面,,f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,x = Qy,,作直角系的旋转变换,作坐标轴的平移,,g(y) = yTy + B’Ty + c = 0,y = z+,,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,二. 一般方程表示的二次曲面,即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0,标准方程,,Q正交且|Q|=1右手系→右手系,p=3,q=0,r(g)=3, b=0,椭球面,球面,p=2, q=1,d>0,p=0,q=3,d<0,单叶双曲面,d>0,d<0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,椭圆抛物面,p=1, q=1,双曲抛物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,椭圆柱面,p=1, q=1,双曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,抛物柱面,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,例1. 请指出曲面z = xy的类型.,其中|Q| = 1.,,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,,可见原方程表示一个双曲抛物面.,则原方程化为 x2  y2 = 2z,,x y z,令,=,,,0,0,0 0 1,,x y z,,第六章 二次型与二次曲面,§6.3 二次曲面,,f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+x32+2x1x2+kx2x3 = 1,例2. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面.,上述方程表示一个椭球面  A正定,,而1 = 2 > 0,,3 = |A| = 1k2/2.,,第六章 二次型与二次曲面,§6.3 二次曲面,,x2+y2+z22xz+4x+2y4z5 = 0,例3. 试用直角坐标变换化简下面的方程.,|Q| = 1.,,这表示一个椭圆柱面.,则原方程化为,令,再配方可得,第六章 二次型与二次曲面,§6.3 二次曲面,,可得x2 + 2z2 = 10,,所作的直角坐标变换公式为,,,§6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,例4.试用直角坐标变换化简 x2 + y + z  2 = 0.,,则原方程化为 x2 + 2(y 1) = 0.,,再作平移变换,可见原方程表示一个抛物柱面.,解:,,,二次型,对称矩阵二次型， 相关理论总对应。

是否合同有标准， 惯性指数来判定 数形结合形何在？ 二次线面类可分 变形金刚千姿态， 标准方程见原形。