小学奥数竞赛中常用的因式分解例题精讲板块一：换元【例 1】 分解因式：【解析】 将看成一个字母，可利用十字相乘得原式，其实也可用十字相乘的思想解答【例 2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：【解析】 方法1：将看作一个整体，设，则 原式= 方法2：将看作一个整体，设，则 原式= 方法3：将看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式.【巩固】 分解因式：【解析】【巩固】 分解因式：【解析】【巩固】 分解因式：【解析】【例 3】 证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】 设这四个连续整数为：、、、原式【巩固】 若，是整数，求证：是一个完全平方数.【解析】令∴上式即【例 4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式【解析】 原式设，原式【巩固】 分解因式【解析】 原式原式【例 5】 分解因式：【解析】 咋一看，很不好下手，仔细观察发现：， 故可设，则. 故原式= .【巩固】 分解因式：【解析】 由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设，则原式= 【巩固】 分解因式：【解析】 设，,原式【例 6】 (重庆市竞赛题)分解因式：【解析】 设，则原式=【巩固】 分解因式：【解析】 为方便运算，更加对称起见，我们令板块二：因式定理因式定理：如果时，多项式的值为，那么是该多项式的一个因式.有理根：有理根的分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数.【例 7】 分解因式：【解析】 的因数是，，的因数是，．因此，原式的有理根只可能是，(分母为1)，．因为，，于是是的一个根，从而是的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式【点评】 观察，如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明； 如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明.【巩固】 分解因式：【解析】 本题有理根只可能为.当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验是根，所以原式有因式，原式容易验证也是的根，，所以【巩固】 分解因式：【解析】 原式的有理数根只可能为：，，，，，经检验是一个根，所以是原式的因式，进而可得：【巩固】 分解因式：【解析】【例 8】 分解因式：【解析】 常数项的因数为，，，，，，把代入原式，得所以是原式的根，是原式的因式，并且【巩固】 分解因式：【解析】 如果多项式的系数的和等于，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么一定是它的根．现在正是这样：所以是原式的因式，并且板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 那么，，…，，.【例 9】 用待定系数法分解因式：【解析】 原式的有理根只可能为，但是这2个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故或故，解得，所以事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】 是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【解析】 我们知道.不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果能够分解，那么一定分解为或比较与的系数可得: 由(1)得，代入(2)得，即或，没有整数能满足这两个方程．所以，不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】 能否分解为两个整系数的三次因式的积?【解析】 设，比较，及的系数，得由第一个方程与第三个方程可得，,再把它们代入第二个方程中，得矛盾!所以，不可能分解为两个整系数的三次因式的积．【例 10】 分解因式：【解析】 原式的有理根只可能为，，但是这四个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设 ⑴其中整系数有待我们去确定．比较⑴式两边，，的系数及常数项，得 这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了是整数!根据这一点，从(5)可以得出或，当然也可能是或在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有或这两种情况．将，，代入(4)，得 ⑹将⑹与⑵相减得，于是，再由⑵得这一组数(，，，)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此 ⑺将，，代人⑷，得 ⑻将⑻与 ⑵相加得.于是，再由 ⑵得.这一组数(，，，)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：的多项式，，，，，… 在字母与互换时，保持不变．这样的多项式称为的对称式．类似地，关于的多项式，，，，，，…在字母中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为的对称式．轮换式：关于的多项式，，，，，，…在将字母轮换(即将换成，换成，换成)时，保持不变．这样的多项式称为的轮换式．显然，关于的对称式一定是的轮换式．但是，关于，的轮换式不一定是对称式．例如，就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例 11】 分解因式：【解析】 是关于的轮换式．如果把看作关于的多项式，那么在时，它的值为.因此，是的因式．由于是的轮换式，可知与也是它的因式．从而它们的积 ⑴ 是 ⑵的因式．由于⑴ 、⑵都是的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数，即有 ⑶现在我们来确定常数的值．为此，比较⑶的两边的系数：左边系数为1，右边系数为．因此，．于是【例 12】 分解因式：【解析】 此式是关于，，的四次齐次轮换式，注意到时，原式，故是原式的一个因式. 同理，，均是原式的因式，而是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为，故原式，展开并比较系数可知，，故原式.课后练习练习 1． 分解因式：【解析】 原式练习 2． 要使为完全平方式，则常数的值为________【解析】则练习 3． 分解因式：【解析】 原式 原式练习 4． 分解因式：【解析】 设，，则原式.练习 5． 分解因式：【解析】练习 6． 分解因式：【解析】练习 7． 用待定系数法分解：【解析】 原式的有理根只可能为，但是这2个数都不能使原式的值为，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故或故，解得，所以事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习 8． 分解因式：【解析】 是关于的轮换式．它有三次因式．由于原式是的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是的四次齐次式，所以这个一次因式也是的一次齐次式，即它的常数项是0(否则，它的常数项与三次式相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是的轮换式，形状应当是是常数．即有 ⑴比较两边的系数，得于是上面求的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使的数代替从而定出，例如，令,,,把它代入⑴，得,即,以上两种确定系数的方法可以结合起来使用． 小学奥数。