新阳光教育第二部分第二部分第二部分第二部分数学基础能力测试数学基础能力测试数学基础能力测试数学基础能力测试（25 题，每题 4 分，共 100 分）1.若20a b=，10b c=，则ab bc+ +的值为（） A.11 21B.21 11C.110 21D.210 11 1.答案：D 解析 特值法依题意，可取1c=，10b=，200a=，则 200 10210 10 111ab bc++==++选 D2.设2345673 333333S=−+−+−+，则S被 4 除的余数是（） A. 0B. 1C. 2D. 3 2.答案：B解析 法一23，43，63被 3 除余数均为 1，则234567246333333332 32 32 3S=−+−+−+=+ ⋅+ ⋅+ ⋅被 4 除余数也为 1选 B法二2345673 333333S=−+−+−+73[1 ( 3) ]3[12187]16411 ( 3)4− −+===− −则41641 44101S÷=÷=⋯⋯选 B3.如图所示，MNP∆是正ABC∆的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为 1500 平方厘米，则正ABC∆的面积等于（）平方厘米。
A. 1900 B. 2000 C. 2100 D. 2200 3.答案：B解析 如图，做ABC∆的高1h、MNP∆的高2h，记内切圆的半径为R依题意，由正∆重心的性质可知13 1h R=22 3R h=新阳光教育则122 1h h=∴221224()( )11ABCMNPSh Sh∆∆===∴44 4 13ABCABCABCMNPSS SSS∆∆∆∆===−−阴影又∵1500S=阴影∴4150020003ABCS=×=选 B4.已知数列1a，2a，3a ……，na， ……的通项是121( 1) 4nnna++ + −=，则该数列前 101项的和等于（） A. 2501B. 2551C. 2601D. 2651 4.答案：C解析1121 ( 1)11( 1)()4424nnnnan+++ + −−==++记数列{ }nb的通项为11 42nbn=+、 前n项和为nT， 易知{ }nb为等差数列且13 4b=，1 2d=，则3(1) 1 422nn nTn−=+⋅记数列{ }nc的通项为1( 1) 4nnc+−=，则{ }nc为单摆数列{1 4，1 4−，1 4，1 4−， ……}，记该数列前n项和为nP，则()1 4 0()nn P n⎧⎪=⎨ ⎪⎩为奇数为偶数记数列{ }na前n项和为nS，依题意有1011011013101 (101 1)111014224STP×−=+=×+×+3 101101 10011 4224××=+×+30312525260144=++=选 C5.三个边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段相交的锐角为α， tanα=()新阳光教育A.3 2B.2 2C.1 2D.15.答案：D 解析 依题意如图，可知角α为∠1、∠2 所在三角形的外角，则有tantan( 12)α=∠ +∠tan1tan2 1tan1 tan2∠ +∠=−∠ ⋅∠ 11 23111123+ == −×选 D6.若53 2x−=，则代数式(1)(2)(3)x xxx+++的值为（）A.1−B. 0C. 1D. 2 6.答案：A解析53535353(1)(2)(3)(1)(2)(3)2222x xxx−−−−+++=⋅+++53515153 2222−−++=⋅⋅⋅4( 53)( 53)( 51)( 51) 2−+−+=4 4116− ×== −选 A7.设 A、B 两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车第一次相遇于 距甲地 20 公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原速原路返回，途中第二 次相遇距乙地 10 公里处，则甲、乙两地相距（）公里。
A. 35B. 40C. 45D. 50 7.答案：D解析 记 A、B 速度分别为1v、2v，甲、乙两地相距S两车同时出发，时间一定，则对于第一次相遇，有112220 20vS vSS==−（1）对于第一次相遇，有' 11 ' 2210 10vSS vSSS+==+−（2）新阳光教育由（1） （2）有2010 2010S SSS+=−+− 解得0S=(舍去)或50S= 即甲、乙两地相距 50 公里选 D8.设O为坐标轴的原点，a，b，c的大小关系如图所示，则111111 abbcca+−−+−的值是（） A. 0B.2 aC.2 bD.2 c 8.答案：B 解析 特值法依题意如图，可取3a=，1b=，2c= −，则111111111111 311223abbcca+−−+−=+−−+−−−4352 3263=−+=此时，只有 B 选项22 3a=复合题意选 B9.若函数( )f x是周期为6的奇函数， 则sin( 7)(1)cos(6)1212fffππ⎛⎞⎛⎞−++⋅+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的值等于（） A.1 4B.1 2C.2 2D.3 29.答案：A解析 依题意有( )(6)f xf x=+()( )fxf x−= −(0)0f=则sin( 7)(1)cos(6)1212fffππ⎛⎞⎛⎞−++⋅+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠sin( 1)(1)cos(0)1212fffππ⎛⎞⎛⎞=−++⋅+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠sincos1212ππ=⋅1sin26π=111 224=×=选 A新阳光教育10.若复数11 1izi−=+，222(1) (1)izi+=−，则12zz−=（） 。
A.1B.3C.2D.210.答案：C解析1111 111iiiziiii−−−==⋅= −++−222222 1(1)1111(1)1iiziizi⎡⎤++⎡⎤⎡⎤===== −⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦则12( 1)2zzi−= − − −=选 C11.如图，面积为9平方厘米的正方形EFGH在面积为25平方厘米的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EFAB�记线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长度是（）厘米A.25 4B.73 4C.73 2D.75 211.答案：C 解析 特值法依题意易知正方形EFGH边长为 3 厘米，正方形ABCD边长为 5 厘米 如图，取点A与点H重合的情况过M做MPAD⊥于P，易知42FECDMP+==3 222EDADPNPDND=−=−=∴22MNMPNP=+223734( )22=+=选 C12.有长为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的六根细木条，任取其中 3 根为边能构成新阳光教育一个三角形的概率为（） A.1 5B.1 4C.3 10D.7 20 12.答案：D解析 此题属古典概型3 620nC==能构成三角形的只有（1）2cm，3cm，4cm； （2）2cm，4cm，5cm； （3）2cm，5cm，6cm； （4）3cm，4cm，5cm； （5）3cm，4cm，6cm； （6）3cm，5cm，6cm； （7）4cm，5cm，6cm 共 7 种情况。
记A={任取其中 3 根为边能构成一个三角形}，则 7( )20P A=选 D13.某股民用 30000 元买进甲乙两种股票， 在甲股票下跌 10%， 乙股票升值 8%时全部卖出， 赚得 1500 元，则该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例为（） A.2:3B.3:2C.1:5D.5:1 13.答案：C 解析 依题意，设该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数分别为x元、y元，则有30000(1) 10%8%1500(2)xy xy+=⎧⎨−+=⎩(1)(2) 20−×得20( 10%8% )0xyxy+−−+=30.60xy−=∴:1:5x y=选 C14.参数方程sincos()26cossin()36xttyttππ⎧=+−+⎪⎪⎨ ⎪=+−−⎪⎩在xOy平面上表示的曲线是（） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 14.答案：A解析 由参数方程sincos()26cossin()36xttyttππ⎧=+−+⎪⎪⎨ ⎪=+−−⎪⎩有(1)2sincos()63cossin()(2)6xttyttππ⎧−=+−⎪⎪⎨ ⎪+=+−⎪⎩22(1)(2)+得2222(2)(3)[sincos()][cossin()]66xyttttππ−++=+−++−新阳光教育2222[sin2sin cos()cos ()] [cos2cossin()sin ()]6666ttttttttππππ=+−+−++⋅−+−22[sin cos()cossin()]66ttttππ=+−+⋅−22sin6π=+12232=+ ×=即原参数方程可整理为22(2)(3)3xy−++=表示的曲线为圆心在(2, 3)−、半径为3的圆选 A15.一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3。
将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出 当容器中剩下的水为原来的2 3时， 圆柱的母线与水平面所成的角等于（） A. 30°B. 45°C. 60°D. 75° 15.答案：B解析 容器中的水的体积为22133VR hπππ==×× =流出水的体积为121(1)33VVVπ=−==如图，1V恰好是用一个平面平分了虚线椭圆以上的这个短圆柱易知，该短圆柱的高12h=，该短圆柱底面直径22dR==设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则12tan12d hα===∴45oα=选 B16.当3x−→时，下述选项中为无穷小量的是（） A.23 9x x− −B.ln(3)x−C.1sin3x−D.1 3xe−16.答案：D解析 当3x−→时：对 A，2311 936x xx−=→−+，不合题意排除；对 B，ln(3)x−→ −∞，不合题意排除；新阳光教育对 C，1sin3x−极限不存在，不合题意排除；对 D，1 3x→ −∞−，则1 30xe−→为无穷小量，满足题意综上，选 D17.若( )f x在0x处可导，且0()f xa=，0'()fxb=，而( )f x在0x处不可导，则（）A.0a=，0b=B.0a=，0b≠ C.0a≠，0b=D.0a≠，0b≠ 17.答案：B 解析 特值法取( )f xx=，则( )f x在00x=处可导，但( )f x在00x=处不可导。
此时0()0f xa==0'()0fxb=≠选 B18.若方程ln0xexk−−=在(0,1]上有解，则k的最小取值为（） A.1−B.1 eC.1D.e18.答案：C解析 记( )lnf xxexk=−−，则'( )10efxx= −⎜⎟⎝⎠，( )g x是( )f x的反函数，21( )Pg x dx=∫，则（） A.01P⎜⎟⎝⎠∴( )f x在[0,2]上为凸函数依题意，如图，为( )f x在[0,2]上的示意图又( )g x是( )f x的反函数，则21( )Pg x dx=∫为图中阴影部分曲边三角形的面积观察图像，显然01P<<选 A22.在()112323102241 035xxxxx x−⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠的展开式中，23x x项的系数是（） A.4−B.2−C.2D.3 22.答案：A解析()112323102241 035xxxxx x−⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠新阳光教育1122312323(2,4325)xxxxxxxxx x⎛⎞ ⎜⎟=+−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠222 1122231323324325xx xxx xx xx xx=++−−−+222 12312231345242xxxx xx xx x=+++−−∴23x x的系数为4−选 A2。