从等式到方程X-知识精讲一.等式用等号“=”连接，表示相等关系的式子，叫做 等式.在等式中，等号左、右两边的式 子，分别叫做这个等式的左边、右边.二 .等式的性质1 .等式基本性质 1 :等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式.用字母表示为：如果 a=b,那么a土c=b±c.2 .等式基本性质2 :等式两边同时乘以同一个数（或式子） ，或除以同一个不为零的数 （或式子），所得结果仍是等式.3 .用字母表示为：如果 a=b,那么ac = bc；如果a =bH c^0,那么-=-. c c等式本身还具有一些性质：对称性：如果a =b ,那么b =a .传递性：如果a =b , b =c ,那么a =c .三 .方程1 .定义：含有未知数的等式叫做方程.定义中含有两层含义： ①方程必定是等式， 即是用等号连接而成的式子； ②方程中必定有一个（可以是多个）待确定的数，即未知数.二者缺一不可.2 .方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求得方程的解的过程，叫做解方程.方程中含有的未知数可以不止一个， 对于只含有一个未知数的方程， 它的解也叫方程的根.解方程与方程的解是两个不同的概念， 后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程.要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边， 如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是.3 .方程中的未知数和已知数已知数一般是具体的数值，如x+5 = 0中，5和0是已知数（x的系数是1 ,是已知数，但一般不说）.有些情况下，方程的已知数需要用字母表示，习惯上常用 a、b、c、m、n等表示，这时a、b、c、m、n等字母叫做参数.未知数是指要求的数，习惯上常用 x、y、z等字母表示.为了指明未知数x,我们一般把方程2x=a称为“关于x的方程”，其中a是参数.四.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ,系数不等于0的方程叫做一元一次方程.这里的“元”是指未知数的个数， “次”是指含未知数的项的最高次数.一元一次方程的 标准形式：ax+b=0 （a/0, a, b是已知数）.一元一次方程的 最简形式：ax=b （a#0, a, b是已知数）.点剖析一 .考点：等式的性质及一元一次方程的概念.二.重难点：等式的性质及一元一次方程的概念.三.易错点：1 .在解方程的过程中，移项不变号；2 .去括号时容易漏乘括号内的项或弄错符号题模一：等式的性质第1页例1.1.1已知2x—3y=1,用含x的代数式表示 y正确的是（）yA.【答案】= 2x.13B.3y 12C.2x-1 y= 3D.【解析】 该题考查的是代数式恒等变形.原式可化为，3y =2x -1,即y =-x-1, 3 3故答案为CB. 如果」x=8,那么x=-42D. 如果|x =|y ,那么x = y例1.1.2下列等式变形正确的是（ ）A. 如果 x=y,那么 x—2=y—2C. 如果mx =my ,那么x=y【解析】 该题考查的是等式的变形.A选项如果x=y,那么x—2=y—2,故正确.一，E 1 … ，一，一B选项如果-2x=8,那么x = T6,故错误.C选项如果mx=my,当m#0时，x=y, m=0时x*y,故错误.D选项如果|x|=|y|,那么x = y x = -y ,故错误.故答案是A.例1.1.3用适当的数或式子填空，使所得结果仍是整式，并说明变形是根据等式的哪一条 性质以及怎样变形的？（1）若3x +5 =8 ,则3x =8 _,这是根据等式基本性质 ,等式两边同时 （2）若工x=l ,则x= ,这是根据等式基本性质 ，等式两边同时4（3）若2n _3m =7 ,则2n =7 +,这是根据等式基本性质 ,等式两边 同时 （4）若1x +4 =6 ,则x +12 = ,这是根据等式基本性质 ，等式两边3 同时 【答案】 （1） 5; 1;减5 （或加-5） （2）—1；2;除以口（3） 3m； 1;加3m （4）1618; 2;乘 3【解析】 首先对比等式两边发生的变化， 观察是如何由上一步变形得到的， 确定变形的依据，得出结论.例1.1.4运用等式性质进行的变形，正确的是 （填序号）2 一 a b①如果a =b ,那么a +c =b —c ;②如果a =3a ,那么a =3 ；③如果a = b ,那么一=—； c ca b④如果一 =_ ,那么a =b ；⑤如果a +c =b -d，如果a -b =c +d ；⑥如果a = b,那么ac = bc ； c c⑦如果ac=bc,那么a=b；⑧如果a=b,那么^a—=T—；⑨如果-2a- = _b-,那么 c2 1 c2 1 c2 1 c2 1a =b .【答案】 ④⑥⑧⑨【解析】 ①错误，在等式左边加c,等式右边减c,等式不一定成立（只有当c = 0时成立）；②错误，在等式两边同除以 a时，要满足a ¥0;③错误，在等式两边同除以 c时，要满足c=0; ④正确，在等式两边同时乘 c;⑤错误，看等号左侧的变化，应该是先减 c,再减b,而等号右边的变化是先加 2b,再加c,再减b.⑥正确，在等式两边同时乘 c；⑦错误，在等式 两边同除以c时，要满足c00;⑧正确，c2+1恒大于0；⑨正确，在等式两边同时乘 c2+1 题模二：一元一次方程例1.2.1下列式子是方程的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B 【解析】 ①没有未知数，②不是等式，⑤不是等式.一 一 一2 c例1.2.2若（m -2 ）xm二=0是关于x的一元一次方程，则 m的值是（）A. ±2 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】 ：该题考查一元一次方程的定义. ' （m -2 Xm2 =0是关于x的一元一次方程，. 2• ' m -3 =1 且 m -2 #0 ,解得m = -2 , 故选B.例1.2.3 关于x的方程（m—2 ）xn —3=0是一元一次方程.（1）则m n应满足的条件为： m, n；（2）若此方程的根为正整数，求整数 m的值.【答案】 （1） #2; =1 （2） 3或5【解析】 该题考查的是一元一次方程的概念和整数根问题.（1）由于方程是一元一次方程，m =2 , n =1 ；（每空 1 分） 2 分3（2）由（1）可知万程为（m—2）x—3=0,则 x=^^ 4m - 2•.•此方程的根为正整数3 ...• 3 为正整数m -2m _2是3的正约数又m为整数• . m =3或5 （每个答案1分）随堂练习随练1.1若a=b,则下列变形中不一定成立的是 （）a bA. a -1 =b 一1 B- 2+3 =~ +3C 1 工=W .1 D- -5a -1 = -1 -5b3 3【答案】C【解析】 该题考查的是等式的性质.A、同时减1,得：a—1=b—1成立；a bB、同时除以2,再加3,得：一+3=-+3成立；2 2a b C、同时除以3,再减1得：- -1 =- -1 ,故错； 3 3D、同时乘以 —5 ,再减1,则—5a — 1 — —1 — 5b成立.故本题答案选C.随练1.2给出下面四个方程及其变形：① 4x +8 =0 变形为 x +2 =0 ；② x+7=5 —3x 变形为 4x = —2 ；2③—x=3变形为2x=15；④4x=-2变形为x=-2 ；5①②④其中变形正确的是（ ）A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D.【答案】B【解析】 该题考查的是等式的性质.等式两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以相同的数（除数不为 0）,等式仍然成立.4x+8 =4 （x+2 ）=0等价变形为x+2=0,故①正确；x+7 =5—3x两边同时力口上3x-7 ,变形为4x=-2,故②正确;2 一，一 ，一， 、一, ，一八—x =3两边同时乘以5,变形为2x=15,故③正确；514x=々两边同时除以4,变形为x=—1,故④错误.确定变形的依据，再对等式的2右边进行相应的变形，得出结论.随练1.4下列式子是方程的个数有(A. 3个【答案】DB. 4个)C. 5个D. 6个故本题答案选B.随练1.3利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子2x _3 =与,贝U 2x = , x = (1)如果(2)如果5x +2 =2x _4 ,贝U 3x = , x =_(3)如果1 …-x =2x -3 ,贝U 35一一x 二 ，x 二3【答案】(1) 2 -1，一 一，、 9(2) -6 ; N (3) U3; 9【解析】5首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,【解析】 ②、⑤不是等式，其余均是等式，且含有未知数，因此是方程.随练1.5若关于X的方程2(x—3)+ax2 =bx是一元一次方程，则a,b满足()A. a=0 且 b#0 B. a = -1 且 b#0C. a=0 且 b=2 D. a=1 且 b=2【答案】C【解析】 该题考察的是一元一次方程的定义.一元一次方程：一个未知数，并且未知数次数为一次的整式方程， 将 2(x -3 )+ax2 =bx合并同类项得 ax2 +(2 -b )x -6 =02 2・•・关于x的万程2(x—3 )+ax =bx即ax +(2 —b )x—6 =0是一元一次方程，a=0, 2—b#0,即 b02,故答案是 C.随练1.6已知(|k| -1)x2 +(k —1)x+3=0是关于x的一元一次方程，求 k的值及方程的解.3【答案】 k*1, x=3 2【解析】 由一元一次方程的定义可知， 卜| —1 =0 ,且k #1 ,所以k = —1 ,原方程即为—2x+3=0 ,解得.。