1,微分方程的,习题课,一、一阶微分方程求解,解法及应用,第七章,二、两类二阶微分方程的解法,2,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型,掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型:,可分离变量方程,,齐次方程,,线性方程3,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,,5,(4) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,6,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,7,方程两边同除以x即为齐次方程,,令y=ux,化为分,离变量方程.,,,调换自变量与因变量的地位 ,,用线性方程通解公式求解 .,化为,8,例2. 求下列方程的通解:,提示:(1),将方程改写为,(贝努里方程),,9,令 y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,,可分离变量方程求解,,化方程为,10,例3.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,11,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,,,于是,12,二、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,,令,,令,,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,,代数法,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,,特征方程为,二阶常系数齐次线性微分方程,14,特征方程为,推广：,,阶常系数齐次线性方程解法,15,二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,,16,,17,的解.,例1.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1)由反函数的导数公式知,(03考研),18,代入原微分方程得,,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,,从而得的通解:,19,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,20,例2.,(1)验证函数,满足微分方程,(2)利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),(02考研),21,所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,22,代入初始条件可得,故所求级数的和,,23,例3、已知,是方程,求,的值然后再求方程的通解.,代入方程得,则原方程为,设,为另一个解,代入方程中得,解出,所以通解,的一个特解，,解,（统考）,24,例4.设,是下列定解问题,的解，计算：,解特征方程,,（先求通解，定出常数，再进行积分也可以）,（统考）,25,二阶微分方程,的特解形式是,为待定常数.,（B）,（C）,（D）,（E）,例5.,（A）,,,其中,（统考）,26,,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,,例6.设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,(统考),27,故,再积分得通解,,复习: 一阶线性微分方程通解公式,28,例7.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,,,,29,求微分方程,解由特征方程,得特征根,对应齐次方程的通解,应设非齐次方程的特解,代入所给方程，易求得,即有特解,通解,的通解。
例8.,（统考）,,,是任意的常数,30,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,例9,31,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,32,,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,33,例10.设,求,解:,两边对 x 求导,,求解可得,思考:设,如何求,提示: 对积分换元 ,令,则有,,,34,解答提示,P353 题2（2)求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353 题3 求下列微分方程的通解,提示: (6)令,则方程变为,35,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若(7)中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,36,作业 P353 3 （1）（5）(8) ; 4 (2) ,(4) 7 ;,。