1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理1．会证明二项式定理．(难点)2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)[基础·初探]教材整理 二项式定理阅读教材P29～P31，完成下列问题．二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)称为二项式定理二项式系数各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数二项式通项Can－kbk是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)二项展开式Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)备注在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N*) 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )【解析】 (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)× 因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)× 因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]二项式定理的正用、逆用 (1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求4的展开式；(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.【解】 (1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题 (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)rC·26－r·x3－，∴T6＝－12·x－.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.1．二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.[再练一题]2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26⇒n＝8.∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1 120x4.设第k＋1项系数最大，则有∴5≤k≤6.∴k＝5或k＝6(∵k∈{0,1,2，…，8})．∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[探究共研型]求展开式中的特定项探究1 如何求4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以4展开式中的常数项为C＝＝6.探究2 (a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．探究3 如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？【提示】 (2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x. 已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【自主解答】 通项公式为：Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝C(－3)rx.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，∴所求的系数为C(－3)2＝405.(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2即r＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________. 【导学号：97270021】【解析】 (1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为C＋C(－1)＝207.(2)6的展开式的通项是Tk＋1＝Cx6－k·(－)kx－2k＝Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca＝60，解得a＝4.【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系] 1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是( )A．－27C B．27CC．－9C D．9C【解析】 含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.【答案】 D2．在8的展开式中常数项是( )A．－28 B．－7C．7 D．28【解析】 Tk＋1＝C·8－k·k＝(－1)k·C·8－k·x8－k，当8－k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·C·2＝7.【答案】 C3．在6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.【答案】 －160x34．在9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 【导学号：97270022】【解析】 Tk＋1＝C·(x2)9－k·k＝k·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝3·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.【答案】 84 －5．求5的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.通项Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·3＝.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )A．(x－1)3 B．(x－2)3C．x3 D．(x＋1)3【解析】 S＝[(x－1)＋1]3＝x3.【答案】 C2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于( )A. B．－C．7 D．－7【解析】 T4＝Cx43＝5，则x＝－.【答案】 B3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )A．3 B．6C．9 D．12【解析】 x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.【答案】 B4．使n(n∈N*)的展开式中。