2023-2024学年安徽省安庆市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列函数中，不是二次函数的是( )A. y=1−2x2 B. y=2(x−1)2+3C. y=12(x+4)(x−3) D. y=(x−3)2−x22.下列命题中，是真命题的为( )A. 锐角三角形都相似 B. 直角三角形都相似 C. 等腰三角形都相似 D. 等边三角形都相似3.抛物线y=−3(x−2)2+1的顶点坐标是( )A. (2,1) B. (2,−1) C. (−2,1) D. (−2,−1)4.如果5a=6b，则下列结论不正确的是( )A. a6=b5 B. ab=1.2 C. a+bb=115 D. 5b=a65.抛物线y=−3(x+1)2−2经过平移得到抛物线y=−3x2，平移方法是( )A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位6.如图l1//l2//l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是( )A. ABBC=DEEFB. ABBO=DEEOC. OBOC=OEOFD. ADCF=AOAC7.大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是( )A. 5 5+5B. 15−5 5C. 5 5−5D. 15+5 58.已知二次函数y=−x2+2x+m图象上的三点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)，则y1、y2、y3的大小关系为( )A. y1 11.已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=3，c=4，则b的值是______ ．12.若反比例数y=2k+1x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______ ．13.如图，一次函数y=x+2k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E，当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为______ ．14.如图，在等边△ABC中，AB=6，点P为AC边上一动点，M为BP的中点，连接CM．(1)当点P为AC的中点，CM的长为______ ；(2)若点P移动到使∠PMC=60°时，CM的长为______ ．三、解答题：本题共9小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题8分)已知a：b：c=2：3：4，且a+3b−2c=15，求a+b−c的值．16.(本小题8分)已知函数y=kx2+x+1的图象与x轴只有一个交点，求出这个交点坐标．17.(本小题8分)如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？18.(本小题8分)平移抛物线y=12x2，使顶点坐标为(t,t2)，并且经过点(2,4)，求平移后抛物线对应的函数表达式．19.(本小题10分)如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．(1)求证：△AEB∽△CED；(2)若AB=6，BC=9，AE=3，求CE长．20.(本小题10分)如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？21.(本小题12分)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(2,m)、B(−1,−6)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b−kx>0．22.(本小题12分)已知二次函数y=−x2+mx+m(m≠0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B点的左侧)，与y轴交点C，顶点为D．(1)若A点在x轴负半轴上，且OA=OC，求该二次函数解析式；(2)用含m的代数式表示顶点D的纵坐标，并求纵坐标的最小值；(3)若−2≤m≤4，且当−1≤x≤2时，y的最大值为8，直接写出m的值______ ．23.(本小题14分)【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=5，BE=4，求AD的长．【拓展提高】(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=3，DF=8，求菱形ABCD的边长．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A、y=1−2x2，是二次函数，故A不符合题意；B、y=2(x−1)2+3，是二次函数，故B不符合题意；C、y=12(x+4)(x−3)=12(x2+x−12)=12x2+12x−6，是二次函数，故C不符合题意；D、y=(x−3)2−x2=−6x+9，是一次函数，故D符合题意；故选：D．根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．2.【答案】D 【解析】【分析】此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．可根据相似三角形的判定方法进行解答．【解答】解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A选项错误；B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B选项错误；C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C选项错误；D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°)，所以它们都相似，故D选项正确；故选：D．3.【答案】A 【解析】解：∵抛物线y=−3(x−2)2+1，∴该函数图象的顶点坐标为(2,1)，故选：A．根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】D 【解析】解：∵5a=6b，∴a6=b5，ab=65=1.2，5b=6a，∵ab=65，∴a+bb=5+65=115．故选：D．根据内项之积等于外项之积对A、、B、D进行判断；根据合比性质对C进行判断．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．5.【答案】D 【解析】解：∵抛物线y=−3(x+1)2−2的顶点坐标为(−1,−2)，平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．故选：D．由抛物线y=−3(x+1)2−2得到顶点坐标为(−1,−2)，而平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，根据顶点坐标的变化寻找平移方法．本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、∵l1//l2//l3，∴ABBC=DEEF，故本选项错误；B、∵l1//l2//l3，∴ABBO=DEEO，故本选项错误；C、∵l1//l2//l3，∴OBOC=OEOF，故本选项错误；D、∵l1//l2//l3，∴ADCF=AOOC，故本选项正确；故选：D．7.【答案】A 【解析】解：∵P为AB的黄金分割点，∴AP= 5−12AB，即AB=2 5−1×10=(5 5+5)cm．故选：A．由黄金分割知：AP= 5−12AB，由此可求得AB的长．本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．8.【答案】B 【解析】解：∵y=−x2+2x+m=−(x−1)2+m+1，∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x=1，∵4−1>1−(−1)>2−1，∴y2>y1>y3，故选：B．由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，根据二次函数图象作答，不需要求函数值．9.【答案】B 【解析】解：∵直线m//n，AB⊥m，PC⊥PD，∴∠PAC=∠PBD=∠CPD=90°，∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠ACP=90°，∴∠ACP=∠BPD，∴△ACP∽△BPD，∴APAC=BDBP，∵点P是AB中点，∴AP=BP=12AB=1，∴1x=y1，∴y=1x，故选：B．先证得△ACP∽△BPD，得出APAC=BDBP，即可求得答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，中点定义，反比例函数图象等，本题难度较小，是一道基础题．10.【答案】C 【解析】解：∵函数y1，y2的图象与x轴的交点个数分别为1个和0个，∴a2−4=0，b2−8<0，即a2=4，∵b2=ac，∴c2=b4a2=b44，而Δ=c2−16=b4−644=(b2+8)(b2−8)4，∵b2+8>0，b2−8<0，∴Δ=c2−16<0，即y3的图象与x轴的交点个数为0，∴M3=0；故选：C．由题意得a2−4=0，b2−8<0，再由b2=ac得c=b2a，代入Δ=c2−16即可确定判别式的符号，从而确定答案．本题考查二次函数图象与x轴交点，正确记忆二次函。
11.已知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=3，c=4，则b的值是______ ．12.若反比例数y=2k+1x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是______ ．13.如图，一次函数y=x+2k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E，当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为______ ．14.如图，在等边△ABC中，AB=6，点P为AC边上一动点，M为BP的中点，连接CM．(1)当点P为AC的中点，CM的长为______ ；(2)若点P移动到使∠PMC=60°时，CM的长为______ ．三、解答题：本题共9小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题8分)已知a：b：c=2：3：4，且a+3b−2c=15，求a+b−c的值．16.(本小题8分)已知函数y=kx2+x+1的图象与x轴只有一个交点，求出这个交点坐标．17.(本小题8分)如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？18.(本小题8分)平移抛物线y=12x2，使顶点坐标为(t,t2)，并且经过点(2,4)，求平移后抛物线对应的函数表达式．19.(本小题10分)如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．(1)求证：△AEB∽△CED；(2)若AB=6，BC=9，AE=3，求CE长．20.(本小题10分)如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？21.(本小题12分)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(2,m)、B(−1,−6)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)根据图象直接写出，当x为何值时，ax+b−kx>0．22.(本小题12分)已知二次函数y=−x2+mx+m(m≠0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B点的左侧)，与y轴交点C，顶点为D．(1)若A点在x轴负半轴上，且OA=OC，求该二次函数解析式；(2)用含m的代数式表示顶点D的纵坐标，并求纵坐标的最小值；(3)若−2≤m≤4，且当−1≤x≤2时，y的最大值为8，直接写出m的值______ ．23.(本小题14分)【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=5，BE=4，求AD的长．【拓展提高】(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=3，DF=8，求菱形ABCD的边长．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A、y=1−2x2，是二次函数，故A不符合题意；B、y=2(x−1)2+3，是二次函数，故B不符合题意；C、y=12(x+4)(x−3)=12(x2+x−12)=12x2+12x−6，是二次函数，故C不符合题意；D、y=(x−3)2−x2=−6x+9，是一次函数，故D符合题意；故选：D．根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．2.【答案】D 【解析】【分析】此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．可根据相似三角形的判定方法进行解答．【解答】解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A选项错误；B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B选项错误；C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C选项错误；D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°)，所以它们都相似，故D选项正确；故选：D．3.【答案】A 【解析】解：∵抛物线y=−3(x−2)2+1，∴该函数图象的顶点坐标为(2,1)，故选：A．根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】D 【解析】解：∵5a=6b，∴a6=b5，ab=65=1.2，5b=6a，∵ab=65，∴a+bb=5+65=115．故选：D．根据内项之积等于外项之积对A、、B、D进行判断；根据合比性质对C进行判断．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键．5.【答案】D 【解析】解：∵抛物线y=−3(x+1)2−2的顶点坐标为(−1,−2)，平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．故选：D．由抛物线y=−3(x+1)2−2得到顶点坐标为(−1,−2)，而平移后抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，根据顶点坐标的变化寻找平移方法．本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、∵l1//l2//l3，∴ABBC=DEEF，故本选项错误；B、∵l1//l2//l3，∴ABBO=DEEO，故本选项错误；C、∵l1//l2//l3，∴OBOC=OEOF，故本选项错误；D、∵l1//l2//l3，∴ADCF=AOOC，故本选项正确；故选：D．7.【答案】A 【解析】解：∵P为AB的黄金分割点，∴AP= 5−12AB，即AB=2 5−1×10=(5 5+5)cm．故选：A．由黄金分割知：AP= 5−12AB，由此可求得AB的长．本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．8.【答案】B 【解析】解：∵y=−x2+2x+m=−(x−1)2+m+1，∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x=1，∵4−1>1−(−1)>2−1，∴y2>y1>y3，故选：B．由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，根据二次函数图象作答，不需要求函数值．9.【答案】B 【解析】解：∵直线m//n，AB⊥m，PC⊥PD，∴∠PAC=∠PBD=∠CPD=90°，∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠ACP=90°，∴∠ACP=∠BPD，∴△ACP∽△BPD，∴APAC=BDBP，∵点P是AB中点，∴AP=BP=12AB=1，∴1x=y1，∴y=1x，故选：B．先证得△ACP∽△BPD，得出APAC=BDBP，即可求得答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，中点定义，反比例函数图象等，本题难度较小，是一道基础题．10.【答案】C 【解析】解：∵函数y1，y2的图象与x轴的交点个数分别为1个和0个，∴a2−4=0，b2−8<0，即a2=4，∵b2=ac，∴c2=b4a2=b44，而Δ=c2−16=b4−644=(b2+8)(b2−8)4，∵b2+8>0，b2−8<0，∴Δ=c2−16<0，即y3的图象与x轴的交点个数为0，∴M3=0；故选：C．由题意得a2−4=0，b2−8<0，再由b2=ac得c=b2a，代入Δ=c2−16即可确定判别式的符号，从而确定答案．本题考查二次函数图象与x轴交点，正确记忆二次函。
