《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 方程（组）、不等式问题函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标.求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.【典型例题】类型一、不等式 1.用适当的语言翻译下列小题：（1）x与9的差是正数或0；（2）b与-5的和既不是正数也不是负数；（3）y的5倍既大于x又小于3x+2；（4）a的2倍与-4的差小于5或大于7；（5）；（6）；（7）（8）【答案与详解】解：（1）x -9≥0；（2）b+(-5)=0；（3）x<5y<3x+2；（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7；（5）y的一半与x的差非负；（6）x的一半与3的差既大于-2又小于0；（7）x>-3或写作：大于-3的数；（8）2y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法．【答案与详解】解：可利用作差比较法比较大小． -(8-l0x)-[ -(8-l0y)] =-8+10x+8-10y =10x -10y． ∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)． 按题意-(8-l0x)>0，则10x>8． ∴． ∴x的最小正整数值是1．【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①；②；③．举一反三：【变式】己知：x<0.5，比较2-4x和18x-9的大小.【答案】解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x而又∵x<0.5，∴-22x>-11，即11-22x>0．∴2-4x>18x-9．类型二、一元一次不等式 3. 已知关于x的不等式的解集是，求a的取值范围. 【答案与详解】解：解法一：，，∵它的解集为，， . 解法二：是关于x方程 的解，，解得．. 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三：【变式1】如果关于ｘ的不等式正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?【答案】解不等式得：． ∵ｋ为正整数且中的正整数解为1，2，3， ∴． ∴．【变式2】（2020•南通）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2【答案】D．解：由x﹣b＞0解得：x＞b，∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜﹣2.类型三、一元一次不等式组4. 求不等式组的整数解. 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有解集的公共部分.【答案与详解】解：解不等式①得：x＜2 ．解不等式②得：x≥－1 ．解不等式③得：x＞-2 ．∴不等式组的解集为－1≤x＜2 ．故不等式组的整数解为－1，0,1 ．【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解．举一反三：【变式】若关于不等式组只有四个整数解，求a的取值范围.【答案】解：由，得， 由，得， ∴不等式组的解集为， ∵只有四个整数解，∴，即， ∴a的取值范围：.5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示： 价格种类进价（元/台）售价（元/台）电视机20002100冰 箱24002500洗衣机16001700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．【答案与详解】解：(1)设购进电视机、冰箱各x台．依题意，得解这个不等式组得，6≤x≤7∵ x为正整数．∴ x＝6或7．方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．(2)方案1需补贴：(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．方案二需补贴：(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)． ∴ 国家财政最多需补贴农民4407元．【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．类型四、一次函数与一元一次方程、不等式（组）6.如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组 的解集为 ．【答案】；【详解】从图象上看，的图象在轴下方，且在上方的图象为画红线的部分，而这部分的图象自变量的范围在.【总结升华】也可以先求出的详解式，然后解不等式得出结果.举一反三：【变式】如图所示，直线经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线过点A，则不等式2＜＜0的解集为( ) .A．＜－2 B．－2＜＜－1 C．－2＜＜0 D．－1＜＜0【答案】B；提示：由图象可知A(－1，－2)是直线与直线的交点，当＜－1时2＜，当＞－2时，＜0，所以－2＜＜－1是不等式2＜＜0的解集．类型五、综合应用7.已知不等式组的解集为，试求m，n的值．【答案与详解】解：解不等式，得．解不等式 n-4(x-1)＜1，得．因为不等式组的解集为，所以有， ∴ ．答：m、n的值分别1和3．【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解．8.（2016•泸州）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？【思路点拨】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．【答案与详解】解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：，解得．答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得。
