1 初 中数学竞赛精品标准教程及练习 47 配方法 一 内容提要一 内容提要 1 配方 这里指的是在代数式恒等变形中 把二次三项式 a2 2ab b2写成完全平方式 a b 2 有时需要在代数式中添项 折项 分组才能写成完全平方式 常用的有以下三种 由 a2 b2配上 2ab 由 2 ab 配上 a2 b2 由 a2 2ab 配上 b2 2 运用配方法解题 初中阶段主要有 用完全平方式来因式分解 例如 把 x4 4 因式分解 原式 x4 4 4x2 4x2 x2 2 2 4x2 这是由 a2 b2配上 2ab 二次根式化简常用公式 aa 2 这就需要把被开方数写成完全平方式 例如 化简625 我们把 5 26写成 2 232 3 2 2 232 2 3 2 3 2 这是由 2 ab 配上 a2 b2 求代数式的最大或最小值 方法之一是运用实数的平方是非负数 零就是最小值 即 a2 0 当 a 0 时 a2的值为 0 是最小值 例如 求代数式 a2 2a 2 的最值 a2 2a 2 a2 2a 1 3 a 1 2 3 当 a 1 时 a2 2a 2 有最小值 3 这是由 a2 2ab 配上 b2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零 则每一个非负数都是零 有时就需 要配方 例如 求方程 x2 y2 2x 4y 5 0 的解 x y 解 方程 x2 y2 2x 4y 1 4 0 配方的可化为 x 1 2 y 2 2 0 要使等式成立 必须且只需 02 01 y x 解得 2 1 y x 此外在解二次方程中应用根的判别式 或在证明等式 不等式时 也常要有配方的知识 和技巧 2 二 例题二 例题 例1 因式分解 a2b2 a2 4ab b2 1 解 a2b2 a2 4ab b2 1 a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 折项 分组 ab 1 2 a b 2 配方 ab 1 a b ab 1 a b 用平方差公式分解 本题的关鍵是用折项 分组 树立配方的思想 例2 化简下列二次根式 347 32 223410 解 化简的关键是把被开方数配方 347 33224 2 32 32 2 3 32 2 32 2 2 324 2 13 2 2 13 2 2 26 223410 2 12 410 12410 246 22224 2 22 2 2 例3 求下列代数式的最大或最小值 x2 5x 1 2x2 6x 1 解 x2 5x 1 x2 2 2 5 x 2 2 5 4 25 1 x 2 5 2 4 21 x 2 5 2 0 其中 0 是最小值 即当 x 2 5 时 x2 5x 1 有最小值 4 21 2x2 6x 1 2 x2 3x 2 1 2 x2 2 2 3 x 4 9 4 9 2 1 3 2 x 2 3 2 2 11 2 x 2 3 2 0 其中 0 是最大值 当 x 2 3 时 2x2 6x 1 有最大值 2 11 例4 解下列方程 x4 x2 2xy y2 1 0 x2 2xy 6x 2y2 4y 10 0 解 x4 2x2 1 x2 2xy y2 0 折项 分组 x2 1 2 x y 2 0 配方 根据 几个非负数的和等于零 则每一个非负数都应等于零 得 0 01 2 yx x 1 1 y x 或 1 1 y x x2 2xy y2 6x 6y 9 y2 2y 1 0 折项 分组 x y 2 6 x y 9 y2 2y 1 0 x y 3 2 y 1 2 0 配方 01 03 y yx 1 4 y x 例5 已知 a b c d 都是整数且 m a2 b2 n c2 d2 则 mn 也可以表示为两个整 数的平方和 试写出其形式 解 mn a2 b2 c2 d2 a2c2 a2d2 b2 c2 b2 d2 a2c2 b2 d2 2abcd a2d2 b2 c2 2abcd 分组 添项 ac bd 2 ad bc 2 例6 求方程 x2 y2 4x 10y 16 0 的整数解 解 x2 4x 16 y2 10y 25 25 添项 x 4 2 y 5 2 25 配方 25 折成两个整数的平方和 只能是 0 和 25 9 和 16 9 5 16 4 16 5 9 4 0 5 25 4 25 5 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x y x 或 或或 由 55 04 y x 得 0 4 y x 同理 共有 12 个解 10 4 y x 5 9 y x 5 1 y x 三 三 练习练习 47 1 因式分解 4 x4 x2y2 y4 x2 2xy y2 6x 6y 9 x4 x2 2ax a2 1 2 化简下列二次根式 252049124 22 xxxx 2 3 x 2 5 2 23 4 4 32 x xx x x 1 x 2 21217 53 324411 5353 14 65 3 5 x 3 2 168 2 xx 3 求下列代数式的最大或最小值 2x2 10 x 1 2 1 x2 x 1 4 已知 a2 b2 4a 2b 5 求 223 ba 的值 5 已知 a2 b2 c2 111 ab bc ca 29 求 a b c 的值 6 已知 实数 a b c 满足等式 a b c 0 abc 8 试判断代数式 cba 111 值的正负 7 已知 x 3819 求 158 231626 2 234 xx xxxx 8 已知 a2 c2 2 b2 ab bc 0 求证 a b c 9 解方程 x2 4xy 5y2 6y 9 x2y2 x2 4xy y2 1 0 5x2 6xy 2y2 14x 8y 10 0 10 求下列方程的整数解 2x y 2 2 x y 2 2 5 x2 6xy y2 10y 25 0 练习练习 47 参考答案参考答案 1 x y 3 2 2 8 0 5x 3 22 2 210 2 3 10 3 5 7 2x x 3 5 3 当 x 2 5 时 有最小值 2 23 x 1 时 有最大值 2 1 4 a 2 b 1 代数式值是 3 22 5 13 6 负数 由 a b c 2 0 得出 ab ac bc 0 4 值为 5 先化简已知为 4 3 代入分母值为 2 可知 x2 8x 13 0 分子可化为 x2 2x 1 x2 8x 13 10 10 5 配方 a b 2 b c 2 0 6 3 6 y x 1 1 1 1 y x 1 2 y x 7 2 1 3 1 2 1 1 1 y x y x y x y x x 3 2 y 5 2 9 。
