第63讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题,1.,理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,会用两原理解决简单实际问题,.,,2.,理解排列、组合的概念,掌握排列数和组合数公式,并能应用解决简单的实际问题,.,1.,分类加法计数原理,,完成一件事,,,有,n,类办法,,,在第,1,类办法中有,m,1,种不同的方法,,,在第,2,类办法中有,m,2,种不同的方法,,……,,在第,n,类办法中有,m,n,种不同的方法,,,那么完成这件事共有,N,=①,,种不同的方法,.,,2.,分步乘法计数原理,,完成一件事,,,需要分成,n,个步骤,,,做第,1,步有,m,1,种不同的方法,,,做第,2,步有,m,2,种不同的方法,,……,,做第,n,步有,m,n,种不同的方法,,,那么完成这件事共有,N,=②,,种不同的方法,.,m,1,+,m,2,+,m,3,+,…+,m,n,m,1,·,m,2,·…·,m,n,3.,分类和分步的区别,,分类:完成一件事同时存在,n,类方法,每一类都能独立完成这件事,各类互不相关,.,分步:完成一件事须按先后顺序分,n,步进行,每一步缺一不可,只有当所有步骤完成,这件事才完成,.,,4.,排列基础理论,,(1),排列的定义,.,,从,n,个不同元素中,,,任取,m,(,m,≤,n,),个不同元素,,,按照一定的③,,排成一列,,,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列,.,顺序,(2),排列数的定义,.,,从,n,不同元素中,,,任取,m,(,m,≤,n,),个不同元素的所有排列的个数,,,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的排列数,,,用符号④,,表示,.,,(3),排列数计算公式,.,,=,n,(,n,-1)(,n,-2)…(,n,-,m,+1)=⑤,,(,其中,m,≤,n,).,,(ⅰ),若,m,=,n,,排列称为全排列,记,,=1·2·3·…·(,n,-1)·,n,=,n,!(,称为,n,的阶乘,),;,,(ⅱ),规定,0!,=,1.,5.,组合基础理论,,(1),组合的定义,.,,从,n,个不同元素中,取出,m,(,m,≤,n,),个不同元素组成一组,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合,.,,(2),组合数的定义,.,,从,n,个不同元素中,,,取出,m,(,m,≤,n,),个不同元素的所有组合的个数,,,叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数,,,用符号 表示,.,(3),组合数计数公式,.,,=⑥,,=⑦,,.,,=⑧,,.,,规定,=1.,,(4),组合数的两个性质,.,,(ⅰ) = ;,,(ⅱ) = + .,6.,排列与组合的区别,,排列与组合的共同点是“从,n,个不同元素中,任取,m,个不同元素”;而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”,而组合却是“只需组成一组(与顺序无关)”,.,因此,“有序”与“无序”是排列与组合的重要标志,.⑨“,,”,为排列问题,,⑩“,,”,为组合问题,.,有序,无序,,,,,一,简单的排列应用问题,素材,1,,二 简单的组合应用问题,,,素材,2,,,,,,,,,三 计数原理及应用,,,,,素材,3,,备选例题,,,,1.,解决有关排列、组合应用题时,应分析:①要完成做一件什么事;②这件事怎样做才可以做好;③需要分类还是分步,.,运用分类计数原理和分步计数原理,关键在于①②两方面,认真分析题意,设计合理的求解程序是求解问题的关键,.,2.,如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,即类与类之间是相互独立的,即分类完成,则选用分类计数原理;如果完成一件事要经历几个步骤(即几步),且只有当这些步骤都做完,这件事才能完成,即步与步之间是相互依存、相互连续的,即分步完成,则选用分步计数原理,.,,3.,排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排,即与顺序有关,而组合只取出一组即可,与顺序无关,.,,4.,注意排列数公式、组合数公式有连乘形式与阶乘形式两种,,,公式,=,n,(,n,-1)·…·(,n,-,m,+1),,,=,常用于计算,,,,,而公式,= , =,常用于证明恒等式,.,。