压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型解题策略模型1：定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上． 拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A，D段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．经典例题【例1】（2021·全国·九年级课时）在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，∴ EC=12-t，∵ EF的长等于45cm，∴在Rt△CEF中，EF2=EC2+CF2，即452=12−t2+t2解得t1=4,t2=8；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF=∠DAE，∵∠CDF+∠PDA=90°，∴∠DAE+∠PDA=90°，∴∠ADP=∠APF=90°，∴∠APF+∠B=180°，由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，∴点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为⊙O的直径，∴t=12；b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：∴OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，∴四边形OMBH、GOHC是矩形，∴OH=BM=GC，OG=HC，∵AB=BC=12cm，∴OH=6，∵CF=t，BF=12-t，∴ HF=12−t2=6−t2,CH=OG=OF=t+6−t2=6+t2，在Rt△FOH中，OF2=OH2+FH2，即6+t22=62+6−t22，解得：t=3；综上所述：当t=3或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：∴OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．故答案为6cm．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）②如图③，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【答案】（1）180；（2）①70°；②AB//CD，理由见解析.【分析】（1）结合三角形三角和为1800，利用题目已知条件，计算结果，即可.（2）①利用第一问的结果，计算，即可.②利用四边形四角和为1800，计算得出∠DAO+∠ADO的度数，结合角平分线定理，得到∠DAB+∠ADC的和，利用平行直线的判定，证明，即可得出.【详解】（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠AOB+∠DOC=3600,可得∠AOB+∠DOC=1800；（2）①结合∠AOB+∠DOC=1800,∠AOB=1100,可得∠COD= 70°；②AB//CD，理由是：因为AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，所以∠OAB=12∠DAB，∠OBA=12∠CBA，∠OCD=12∠BCD，∠ODC=12∠ADC.所以∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=12（∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC）在四边形ABCD中，∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC=360°.所以∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=12×360°=180°在△OAB中，∠OAB+∠OBA=180°−∠AOB.在△OCD中，∠OCD+∠ODC=180°−∠COD.所以180°−∠AOB+180°−∠COD=180°.所以∠A0B+∠COD=180°所以∠ADO+∠BOD=360°−（∠AOB+∠COD）=360°−180°=180°.因为∠AOD=∠BOC，所以∠AOD=∠BOC=90°在∠AOD中，∠DAO+∠ADO=180°−∠AOD=180°−90°=90°.因为∠DAO=12∠DAB，∠ADO=12∠ADC，所以12∠DAB+12∠ADC=90°.所以∠DAB+∠ADC=180°.所以AB//CD【点睛】考查三角形内角和及平行线的判定，得到∠DAB和∠ADC的关系是解题的关键.【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，于是BCAB=2BDAB=3；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5,CE=2，求BF的长．【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：CD=3AD+BD；拓展延伸：①详见解析；②33【分析】迁移应用：①如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；②结论：CD=3AD+BD．由ΔDAB≅ΔEAC，可知BD=CE，在RtΔADH中，DH=AD·cos30°=32AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出ΔEFC是等边三角形；②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在RtΔBHF中，由∠BFH=30°，可得HFBF=cos30°，由此即可解决问题．【详解】迁移应用：①证明：如图2∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAB和△EAC中，{DA=EA∠DAB=∠EACAB=AC，∴△DAB≌△EAC，②解：结论：CD=3AD+BD．理由：如图2−1中，作AH⊥CD于H．∵ΔDAB≅ΔEAC，∴BD=CE，在RtΔADH中，DH=AD·cos30°=32AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∴CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD；拓展延伸：①证明：如图3中，连接BE，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD,△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA,FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形；②解：作BH⊥AE于H，∵AE=5,EC=EF=2，∴AH=HE=2.5,FH=4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴HFBF=cos30°，∴BF=4.532=33．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．【例4】（2022·全国·九年级课时）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形． （1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．【答案】（1）60°；（2）53；（3）见解析【分析】（1）根据美角的定义可得∠A=12∠C，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；（2）连接DO并延长，交⊙O与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出△ABD为等边三角形，然后利用SAS证出△ABF≌△ADC，从而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再证出△ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）根据题意可得：∠A=12∠C，而∠A＋∠C=180°∴∠A=60°（2）连接DO并延长，交⊙O与点E，连接BE∴∠E=∠A=60°∵DE为⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴∠DBE=90°，DE=10在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×32=53；（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD由（1）可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120°∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠DCA=12∠BCD=60°∴∠ABD=∠DCA=60°∴∠。
