思维特训(十三) 图形与一元一次方程方法点津 ·利用几何图形的性质，如长方形的长和宽的数量关系、正方形的边长相等或图形的面积等，可建立一元一次方程来解有关几何图形的实际问题．典题精练 ·类型一 以图形为载体的常规问题1．如图13－S－1所示，甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的倍．(1)如果甲、乙在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？(2)如果甲在乙前面8米处，两人同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？图13－S－12．小亮做了一个用于放试管的木架子，他在厘米长的木条上钻了7个孔，每个孔的直径都为a厘米，如图13－S－2所示．(1)如果两端的空间与任何相邻两孔之间的距离相同，当a＝时，请计算相邻两孔之间的距离是多少厘米．(2)如果两端的空间都是厘米，其他相邻两孔之间的距离相同都为厘米，请计算每个孔的直径为多少厘米．图13－S－2类型二 剪拼问题3．如图13－S－3，悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1 cm的长方形纸条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍．求原正方形纸片的边长．图13－S－34．如图13－S－4是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米．(1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的式子分别表示出正方形F，E和C的边长；(2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(如图中的MN和PQ)．请根据这个等量关系，求出x的值；(3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还要多少天完成？图13－S－4类型三 与图形面积相关的问题5．一家住房的地面结构如图13－S－5所示，请根据图中的数据，解答下列问题：(1)用含x的式子表示地面总面积；(2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m2，这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺1 m2地砖的平均费用为60元，求铺地砖的总费用为多少元．图13－S－56．如图13－S－6所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中GH＝2 cm，GK＝2 cm，设BF＝x cm.(1)求x的值；(2)求长方形ABCD的面积．图13－S－6类型四 动点问题7．如图13－S－7，在长方形ABCD中，AB＝6，CB＝8，点P与点Q分别是AB，CB边上的动点，点P与点Q同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向点B运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C向点B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．(设运动时间为t秒)(1)如果存在某一时刻恰好使QB＝2PB，求出此时t的值；(2)在(1)的条件下，求图中阴影部分的面积．图13－S－7类型五 图形堆放问题8．八一体育馆设计一个由相同的正方体搭成的标志物(如图13－S－8所示)，每个正方体的棱长为1米，其暴露在外面的面(不包括最底层的面)用五夹板钉制而成，然后刷漆．每张五夹板可做两个面，每平方米用漆500克．(1)建材商店将一张五夹板按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每张仍获利4.8元(五夹板必须整张购买)，每张五夹板的进价为多少元？(2)油漆店开展“每满100元送20元，多买多送”的酬宾活动，所购油漆的售价为每千克34元．试问购买五夹板和油漆共需多少钱？图13－S－8详解详析1．解：(1)设经过x秒甲、乙两人首次相遇，则6×x＋6x＝400－8，解得x＝28.答：经过28秒甲、乙两人首次相遇．(2)设经过y秒甲、乙两人首次相遇，则6×y＝6y＋400－8，解得y＝196.答：经过196秒甲、乙两人首次相遇．2．解：(1)设相邻两孔之间的距离是x厘米．根据题意，得－7×＝8x，解得x＝1.5.答：相邻两孔之间的距离是1.5厘米．(2)设每个孔的直径为y厘米．根据题意，可得－2×－6×＝7y，解得y＝1.答：每个孔的直径为1厘米．3．解：设原正方形纸片的边长为x cm.根据题意，得2(x＋3)＝2×2(x－3＋1)，解得x＝7.答：原正方形纸片的边长为7 cm.4．解：(1)若设图中最大正方形B的边长是x米，最小正方形A的边长是1米，则正方形F的边长为(x－1)米，正方形E的边长为(x－2)米，正方形C的边长为(x－3)米(表示方法不唯一)．(2)因为MN＝PQ，正方形D的边长为(x－3)米，所以x－2＋x－3＋x－3＝x＋x－1，解得x＝7.(3)设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成．根据题意，得(＋)×2＋y＝1，解得y＝10.答：余下的工程由乙队单独施工，还要10天完成．5．解：(1)地面总面积为9×1.5x＋(9－4)×2＋(3＋2)×4＋3x＝(16.5x＋30)m2.答：该住房的地面总面积为(16.5x＋30)m2.(2)由题意，得9×1.5x－3x＝21，解得x＝2.所以铺地砖的总费用为[(9－4)×2＋3×2]×60＝960(元)．答：铺地砖的总费用为960元．6．解：(1)CM＝(x＋2)cm，DM＝MK＝2(x＋2)－2＝(2x＋2)cm.AD＝AE＋DE＝2x＋2＋2＋2x＋2＝(4x＋6)cm，BC＝x＋x＋x＋x＋2＋x＋2＝(5x＋4)cm，因为AD＝BC，所以4x＋6＝5x＋4，解得x＝2.(2)AB＝2x＋2＋2＋x＝10(cm)，BC＝5x＋4＝14(cm)．所以长方形ABCD的面积为10×14＝140 (cm2)．7．解：(1)由题意可知AP＝2t，CQ＝t，所以PB＝AB－AP＝6－2t，QB＝CB－CQ＝8－t.当QB＝2PB时，有8－t＝2(6－2t)，解得t＝.故当t＝时，QB＝2PB.(2)当t＝时，PB＝6－2t＝，QB＝8－t＝，所以S△QPB＝PB·QB＝××＝.因为S长方形ABCD＝AB·CB＝6×8＝48，所以S阴影＝S长方形ABCD－S△QPB＝.8．解：(1)设每张五夹板的进价为x元．根据题意，得(1＋40%)×x－x＝4.8，解得x＝40.答：每张五夹板的进价为40元．(2)因为每张五夹板的进价为40元，所以每张五夹板的现价为40＋4.8＝44.8(元)．几何体暴露在外面的面有75个，需购买五夹板＝37.5≈38 (张)，即购买五夹板需付费44.8×38＝1702.4(元)．几何体需要刷漆的面积为75×1×1＝75 (米2)，所以用漆总量为75×0.5＝37.5 (千克)，所以购买油漆应付费34×37.5＝1275(元)，购买油漆实际付费1275－1200×＝1035(元)，因此购买五夹板和油漆共需费用为1702.4＋1035＝2737.4(元)．答：购买五夹板和油漆共需2737.4元．。
