专题四专题四 力与曲线运动力与曲线运动( (二二) )————万有引力万有引力与航天与航天考点 1| 万有引力定律的应用 难度：中档 题型：选择题 五年 2 考(2015·江苏高考 T3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕． “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )120A. B．1110C．5D．10【解题关键】 关键语句信息解读中心恒星对“51 peg b”的万有引力提供向心力“51 peg b”绕中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4天“51 peg b”的周期为地球公转周期的4365B [行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1，选项 B 正确．]Mmr24π2T2M1M2(r1r2) (T2T1)(120)(3654)(2014·全国卷ⅡT18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为T，引力常量为 G.地球的密度为( )A.B.3πGT2g0－gg03πGT2g0g0－gC.D．3πGT23πGT2g0g【解题关键】 解此题抓住两条信息：(1)地表重力加速度两极为 g0，赤道处为 g.(2)地球的自转周期为 T.B [根据万有引力与重力的关系解题．物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球MmR2(2πT)MmR2的密度 ρ＝.故选项 B 正确，选项 A、C、D 错误．]3πg0GT2g0－g1．高考考查特点(1)本考点高考命题角度为万有引力定律的理解，万有引力与牛顿运动定律的应用．(2)正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量(密度)的估算方法，熟悉一些天体的运行常识是前提．2．解题的常见误区及提醒(1)不能正确区分万有引力和万有引力定律．万有引力普遍存在，万有引力定律的应用有条件．(2)对公式 F＝，应用时应明确“r”的意义是距离；m1和 m2间的作Gm1m2r2用力是一对作用力与反作用力．(3)天体密度估算时，易混淆天体半径和轨道半径．●考向 1 万有引力与重力1．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2∶.已知该行星质量7约为地球的 7 倍，地球的半径为 R.由此可知，该行星的半径约为( )【导学号：25702017】A. RB. R1272C．2RD．R72C [在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们经历的时间之比即为在水平方向运动的距离之比，所以＝.竖直方向上做自由落体运动，重力加速度分别为 g1和 g2，因此t1t227＝＝ ＝ .g1g22h/t2 12h/t2 2t2 2t2 174设行星和地球的质量分别为 7M 和 M，行星的半径为 r，由牛顿第二定律得G＝mg1①7Mmr2G＝mg2②MmR2①/②得 r＝2R因此 A、B、D 错，C 对．]●考向 2 天体质量(密度)的估算2．(高考改编)[例 2](2014·全国卷ⅡT18)中，若地球自转角速度逐渐增大，当角速度增大到某一值 ω0时，赤道上的某质量为 m′的物体刚好要脱离地面．则地球的质量是多大？【解析】 设地球质量为 M，地球两极有：＝mg0①GMmR2在赤道对质量为 m′的物体刚要脱离时有：＝m′ω ·R②GMm′R22 0由①②得：M＝g /Gω .3 04 0【答案】 g /Gω3 04 03．(多选)(2016·郑州三校三联)一颗人造卫星在地球表面附近做匀速圆周运动，经过 t 时间，卫星运行的路程为 s，运动半径转过的角度为 θ，引力常量为G，则( )A．地球的半径为sθB．地球的质量为s2Gθt2C.地球的密度为3θ24πGt2D．地球表面的重力加速度为sθtAC [根据题意可知，地球的半径 R＝ ，A 项正确；卫星的角速度sθω＝ ，G＝mRω2，M＝，B 项错误；地球的密度 ρ＝，C 项正确；θtMmR2s3Gθt23θ24πGt2地球表面的重力加速度等于卫星的向心加速度，即 a＝Rω2＝，D 项错误．]sθt2天体质量(密度)的估算方法1.利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.由于 G＝mg，故天体质量 M＝，天体密度 ρ＝＝＝.MmR2gR2GMVM43πR33g4πGR2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.(1)由万有引力等于向心力，即 G＝mr，得出中心天体质量 M＝Mmr24π2T2；4π2r3GT2(2)若已知天体半径 R，则天体的平均密度 ρ＝＝＝；MVM43πR33πr3GT2R3(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周3πGT2期 T，就可估算出中心天体的密度．考点 2| 天体的运行与发射 难度：中档 题型：选择题 五年 3 考(多选)(2012·江苏高考 T8)2011 年 8 月， “嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图1 所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )图 1A．线速度大于地球的线速度B．向心加速度大于地球的向心加速度C．向心力仅由太阳的引力提供D．向心力仅由地球的引力提供【解题关键】 解此题注意以下两点：(1)“嫦娥二号”与地球同步绕太阳做圆周运动，二者角速度相同．(2)“嫦娥二号”同时受太阳和地球的万有引力作用．AB [飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以 ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系 v＝rω 得 v飞＞v地，选项 A 正确；由公式 a＝rω2知，a飞＞a地，选项 B 正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故 C、D 选项错．](多选)(2016·江苏高考 T7)如图 2 所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，用 R、T、Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )图 2A．TA＞TBB．EkA＞EkBC．SA＝SBD．＝R3 AT2 AR3 BT2 B【解题关键】 关键语句信息解读两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动两卫星的运动遵循开普勒行星运动定律如图所示两卫星的轨道半径大小关系为：RA>RBAD [已知不同高度处的卫星绕地球做圆周运动，RA＞RB.根据＝k 知，R3T2TA＞TB，选项 A、D 正确；由＝m知，运动速率 v＝，由 RA＞RB，GMmR2v2RGMR得 vA＜vB，则 EkA＜EkB，选项 B 错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星绕地球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于不同卫星，SA不一定等于 SB，选项 C 错误．](多选)(2013·全国卷ⅠT20)2012 年 6 月 18 日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【解题关键】 解此题要注意三点：(1)正确理解宇宙速度．(2)阻力做功，轨道如何变化．(3)超重、失重的实质．BC [本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项 A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力 Fn＝减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降mv2r低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项 B、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项 D 错误．]1．高考考查特点(1)高考的命题角度为人造卫星的运行参数，卫星的变轨及变轨前后的速度、能量变化．(2)解此类题的关键是掌握卫星的运动模型，离心(向心)运动的原因及万有引力做功的特点．2．解题常见误区及提醒(1)对宇宙速度特别是第一宇宙速度不理解．(2)对公式 v＝不理解，误认为阻力做功速度减小半径增大．GMr(3)误认为宇宙飞船处于完全失重状态时不受重力作用．(4)分析线速度(v)、角速度(ω)、周期(T)与半径 R 的关系时，不能正确控制变量．●考向 1 天体的运行参数4．(2014·江苏高考 T2)已知地球的质量约为火星质量的 10 倍，地球的半径约为火星半径的 2 倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A．3.5 km/sB．5.0 km/sC．17.7 km/sD．35.2 km/sA [根据万有引力提供向心力解题．由 G＝m得，对于地球表面附近Mmr2v2r的航天器有：G＝，对于火星表面附近的航天器有：G＝，由题Mmr2mv2 1rM′mr′2mv2 2r′意知 M′＝M、r′＝ ，且 v1＝7.9 km/s，联立以上各式得：v2≈3.5 km/s，选项110r2A 正确．]5．(2016·东北三省六校联考)如图 3 所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬 60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬 60°的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确的是( )【导学号：25702018】图 3A．该卫星的运行速度一定大于 7.9 km/sB．该卫星与同步卫星的运行速度之比为 1∶2C．该卫星与同步卫星的运行半径之比为 1∶4D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能C [近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度 7.9 km/s.根据 G＝m，得Mmr2v2rv＝，半径越大线速度越小，该卫星的半径大于地球半径，则其运动速度一GMr定小于 7.9 km/s，A 错．该卫星从北纬 60°到南纬 60°，转过 120°用时 1 h，则其转过 360°用时 3 h，即周期为 3 h，而同步卫星的周期为 24 h，即该卫星与同步卫星的周期之比为 1∶8.根据 G＝mr，得＝，则可得半径之比为Mmr24π2T2r3T2GM4π21∶4，C 正确．再由 v＝可得该卫星与同步卫星的运行速度之比为GMr2∶1，B 错．在卫星绕地球做圆周运动情况下，从高轨道到低轨道要减少机械能，若二者质量相等则该卫星的机械能小于同步卫星的机械能，D 错．]●考向 2 赤道物体与地球卫星的比较6．国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970 年4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3的大小关系为( )A．a2>a1>a3B．a3>a2>a1C．a3>a1>a2D．a1>a2>a3D [卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有 G＝m1a1，即 a1＝，对于东方红二号，有Mm1R＋h12GMR＋h12G＝m2a2，即 a2＝，由于 h2>h1，故 a1>a2，东方红二号卫星与Mm2。