教,学,课,件,北师大版七,年级下册数学,（新教材）,1.3,乘法公式,第,2,课时 完全平方公式,第一章 整式的乘除,学习,目标,1.,经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；,2.,通过实例，了解完全平方公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；,3.,通过观察图形的拼接，验证完全平方公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想,.,重点：,理解并掌握完全平方公式的推导和应用,.,难点：,掌握完全平方公式的结构特征，,能灵活运用公式进行计算,.,知识链接,1.,多项式的乘法法则是什么,?,(,a,+,b,)(,m,+,n,),；,2.,多项式乘法法则的几何意义是什么,?,m,n,a,b,am,+,bm,+,an,+,bn,明明订购了一个,6,寸的大披萨，不久店员打告知,6,寸的披萨卖完了，问能否换购一个,4,寸和一个,2,寸的小披萨,(,披萨近似看作圆,),.,你认为明明应该同意吗？,大披萨的面积：,S,=,3,2,=9.,小披萨的面积之和：,S,=,2,2,+,1,2,=5.,你发现了什么？,(,2,+,1),2,2,2,+,1,2,.,所以不应该同意,.,完全平方公式,1,算一算：,(1),(1,-,p,),2,解：原式,=(,1,-,p,)(,1,-,p,),=,1,-,p,-,p,+,p,2,=1,-,2,p,+,p,2,.,(2),(,m,+3),2,解：原式,=(,m,+3,)(,m,+3,),=,m,2,+3,m,+3,m,+9,=,m,2,+2,3,m,+9,=,m,2,+,6,m,+9.,解：原式,=,(2,+3,x,)(2,+3,x,),=2,2,+2,3,x,+2,3,x,+9,x,2,=4,+2,2,3,x,+9,x,2,=4,+12,x,+9,x,2,.,(3),(2,+3,x,),2,追问,1,：,上述式子的左边有什么共同特征,?,计算的结果都是几次几项式,?,左式都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式,.,追问,2,：,计算结果的每一项分别与括号里的每一项有什么关系,?,结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的,2,倍,.,(1),(1,-,p,),2,=1,-,2,p,+,p,2,.,(2),(,m,+3),2,=,m,2,+,6,m,+9,(3),(2,+3,x,),2,=4,+12,x,+9,x,2,.,比一比：,根据发现的特征，写出下面式子的答案：,(1),(,a,b,),2,=,；,(2),(,a,b,),2,=,.,a,2,2,ab,b,2,a,2,2,ab,+,b,2,观察并比较,(1)(2),两个式子，等式左边,(,右边,),相同的项,.,(1,),(,a,b,),2,=,(,a,b,)(,a,b,),=,a,2,ab,ab,b,2,=,a,2,2,ab,b,2,(2),(,a,b,),2,=,a,(,b,),2,=,a,2,a,(,b,),a,(,b,),(,b,),2,=,a,2,2,a,(,b,),(,b,),2,=,a,2,2,ab,b,2,推导,过程验证：,议一议,追问,1,：,(1)(2),两个式子等式右边不同的是哪一项,?,它的符号与什么有关,?,2,ab,和,2,ab,.,与两数中间的符号有关,.,(1,),(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,b,2,(2),(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,b,2,追问,2,：,能否描述你们发现的规律,?(,分别从文字语言和符号语言角度引导,),文字语言：,两个数的和,(,差,),的平方，等于这两个数的平方和，加上,(,减去,),它们积的,2,倍,.,符号语言：,(,a,b,),=,a,2,ab,b,.,(,a,+,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,-,b,),2,=,.,a,2,-,2,ab,+,b,2,两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的,2,倍,.,这两个公式叫作,完全平方公式,.,简记为：,“首平方，尾平方，,积的,2,倍放中间”,知识要点,完全平方公式,公式特征：,1.,积为二次三项式；,2.,积中的两项为两数的平方；,3.,另一项是两数积的,2,倍，且与原式中间的符号相同,；,4.,公式中的字母,a,，,b,可以表示数、单项式和多项式,.,例,1,利用完全平方公式计算：,解：,(2,x,3),2,=,=4,x,2,(1)(2,x,3),2,；,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,(2,x,),2,2 (2,x,)3,+3,2,12,x,+9,；,典例精析,(2)(4,x,5,y,),2,；,解：,(4,x,5,y,),2,=,(4,x,),2,2 (4,x,),5,y,(5,y,),2,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,b,2,=16,x,2,40,xy,2,5,y,2,；,(3)(,mn,a,),2,.,解：,(,mn,a,),2,=,(,mn,),2,2,mn,a,a,2,=,m,2,n,2,2,amn,a,2,.,1.,利用完全平方公式计算：,(1)(5,a,),2,；,(2)(,3,m,4,n,),2,；,(3)(,3,a,b,),2,.,(3)(,3,a,b,),2,9,a,2,6,ab,b,2,.,解：,(1)(5,a,),2,25,10,a,a,2,.,(2)(,3,m,4,n,),2,9,m,2,24,mn,16,n,2,.,练一练,思考：,(,a,+,b,),2,与,(,-,a,-,b,),2,相等吗,?,(,a,-,b,),2,与,(,b,-,a,),2,相等吗,?,(,a,-,b,),2,与,a,2,-,b,2,相等吗,?,为什么,?,解：,(,-,a,-,b,),2,=(,-,a,),2,-,2,(,-,a,),b,+,b,2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,=(,a,+,b,),2,.,(,b,-,a,),2,=,b,2,-,2,ba,+,a,2,=,a,2,-,2,ab,+,b,2,=,(,a,-,b,),2,.,(,a,-,b,),2,与,a,2,-,b,2,不一定相等，,只有当,b,=,0,或,a,=,b,时，,(,a,-,b,),2,=,a,2,-,b,2,.,想一想,完全平方公式的几何验证,2,问题：,一块边长为,a,米的正方形实验田，,因需要将其边长增加,b,米,.,形成四块实验田，以种植不同的新品种,(,如图,).,(1),四块实验田面积分别为：,，,，,，,.,a,a,b,b,a,2,ab,b,2,ab,(2),两种形式表示实验田的总面积：,a,a,b,b,从整体看：,边长为,的大正方形，,S,大正方形,；,(,a,+,b,),(,a,+,b,),2,从部分看：,四块面积的和,S,.,a,+2,ab,+,b,a,a,b,b,=,+,+,+,a,2,ab,ab,b,2,(,a,+,b,),2,=,.,a,2,+2,ab,+,b,2,和的完全平方公式：,想一想,你能根据图中的面积解释完全平方公式吗,?,画一画,画一画：,我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,?,a,2,a,b,b,(,a,b,),=,a,2,2,a,b,+,b,2,=,(,a,b,),2,a,b,a,a,a,b,b,(,a,b,),b,b,(,a,b,),2,(,a,-,b,),2,=,.,a,2,-,2,ab,+,b,2,差的完全平方公式：,a,b,思考：怎样计算,102,2,，,197,2,更简便呢？,(1)102,2,；,(2),197,2,.,解：原式,=(100+2),2,=10 000+400+4,=10 404.,解：原式,=,(200,3),2,=40 000,1200+9,=38 809.,=,100,2,2,100,2+2,2,=200,2,2,2,00,3,+,3,2,想一想,方法总结：,用平方差公式进行计算，需要分组,.,分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”,.,例,2,运用乘法公式计算：,(1)(,x,+2,y,-,3)(,x,-,2,y,+3),；,=,x,2,(2,y,3),2,=,x,2,(4,y,2,12,y,+9),=,x,2,4,y,2,+12,y,9.,解,：,原式,=,x,+(2,y,3),x,(2,y,3),同号,异号,a,b,平方差公式,整体,典例精析,(2),(,a,+,b,+,c,),2,.,解：原式,=(,a,+,b,)+,c,2,方法总结：,要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算,.,=,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,ab,+2,bc,+2,ac,.,=,a,2,+2,ab,+,b,2,+2,ac,+2,bc,+,c,2,=(,a,+,b,),2,+2(,a,+,b,),c,+,c,2,完全平方公式,都同号,例,2,计算：,(1)(,x,+3),2,x,2,；,解,：,原式,=,x,2,+6,x,+9,x,2,=,6,x,+9,；,或原式,=,(,x,+3+,x,),(,x,+3,x,),=,(2,x,+3),3,=,6,x,+9.,还有其他的方法吗？,典例精析,(2),(,a,+,b,+3,)(,a,+,b,-,3,),；,解,：,原式,=,(,a,+,b,),+,3,(,a,+,b,),-,3,=,(,a,+,b,),2,-,3,2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,-,9.,(3)(,x,+5),2,(,x,-,2,)(,x,-,3,).,解,：,原式,=,x,2,+10,x,+25,-,(,x,2,-,5,x,+6,),=,x,2,+10,x,+25,-,x,2,+,5,x,-,6,=,15,x,+19.,(4)(,a,+,b,),(,a,-,b,),2,.,解,：,原式,=,(,a,2,-,b,2,),2,=,a,4,-,2,a,2,b,2,+,b,4,.,2.,已知,a,b,7，,ab,10，求,a,2,b,2,，,(,a,b,),2,的值,.,解：因为,a,b,7，,要熟记完全平方公式哦！,(,a,b,),2,a,2,b,2,2,ab,29,210,9.,所以,a,2,b,2,(,a,b,),2,2,ab,49,210,29,，,所以,(,a,b,),2,49,.,练一练,一、选择题,1.,计算,(,2,x,1),2,的结果是（,C,）,A,.,2,x,2,4,x,1,B,.,4,x,2,4,x,1,C,.,4,x,2,4,x,1,D,.,4,x,2,1,C,一、完全平方公式的认识,3.,若,(,x,a,),2,x,2,1,0,x,b,，,则,a,，,b,的值分别,为,(,),A,.,2,，,4,B,.,5,，,25,C,.,2,，,25,D,.,5,，,25,D,2,.,下列各式利用完全平方公式计算正确的是,（,）,A.,(,x,3),2,x,2,9,B.(,2,a,b,),2,4,a,2,4,a,b,b,2,C.,(,a,2,b,),2,a,2,2,a,b,4,b,2,D.,(,x,),2,x,2,x,D,6.,若,a,2,a,b,b,2,M,(,a,b,),2,，,则,M,.,3,a,b,二、填空题,4.,计算,：,(1),(,x,2),2,；,(2),(,m,2,n,),2,.,x,2,4,x,4,m,2,4,m,n,4,n,2,5,.,如图所示的图形验证了一个等式,，,则这个等式,是,.,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,8.,已知,ab,2,，求,(2,a,3,b,),2,(2,a,3,b,),2,的,值,.,解：原式,4,a,2,1,2,a,b,9,b,2,(,4,a,2,1,2,a,b,9,b,2,),2,4,a,b,.,当,a,b,2。