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1、平等四边形单元复习1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.【重点】理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【难点】平行四边形与
2、特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.专题一平行四边形的判定、性质及其应用【专题分析】在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.(2015绵阳模拟)已知ABC中,AB=AC,D为ABC所在平面内的一点,过D作DEAB,DFAC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;(2)当点D在直线BC
3、上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);(3)如图(2),当点D是ABC内一点时,过D作DEAB,DFAC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).解析(1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出FDB=B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:当点D在CB延长线上时,如图,先证明四边形AEDF是平行
4、四边形,则DE=AF,再证明FDB=FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF-BF=DE-DF;当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;当点D在BC的延长线上时,如图,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明CDE=DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE-CE=DF-DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明EGC=C,由等角对等边得到EG=DE+DG=CE,从而可得AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.解:(1)DE+DF=AB.理由如下:DEAB,DFAC,四边形AEDF是平行四边形,DE=AF.D
5、FAC,FDB=C,AB=AC,C=B,FDB=B,DF=FB,DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:当点D在CB延长线上时,如图,AB=DE-DF;当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;当点D在BC的延长线上时,如图,AB=DF-DE.(3)AB=DE+DG+DF.解题策略本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.【针对训练1】ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CFDE交AB于点F.(1)若点D是BC边的中点(如图)
6、,求证EF=CD.(2)在(1)的条件下直接写出AEF和ABC的面积比.(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.解析(1)根据ABC和AED是等边三角形,D是BC的中点,EDCF,可证明ABDCAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出AEF和ABC的面积比.(3)根据EDFC及题意得出ACF=BAD,从而可证明ABDCAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.证明:(1)ABC是等边三角形,D是BC的中点,ADBC,且DAB=B
7、AC=30,AED是等边三角形,AD=AE=ED,ADE=60,EDB=90-ADE=90-60=30,EDCF,FCB=EDB=30,ACB=60,ACF=BAD=30,又B=FAC=60,AB=CA,ABDCAF,AD=CF,AD=ED,ED=CF,又EDCF,四边形EDCF是平行四边形,EF=CD.解:(2)AEF和ABC的面积比为14.(3)成立.证明如下:EDFC,EDB=FCB,AFC=B+FCB=60+FCB,BDA=ADE+BDE=60+BDE,AFC=BDA.又B=FAC=60,AB=CA,ABDCAF,AD=FC,AD=ED,ED=CF,又EDCF,四边形EDCF是平行四边
8、形,EF=DC.专题二矩形的判定、性质及其应用【专题分析】 在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证四边形EFGH是矩形;(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DGAC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.解析(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.证明:(1)四边形ABC
9、D是矩形,OA=OB=OC=OD,AE=BF=CG=DH,AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,四边形EFGH是矩形.解:(2)G是OC的中点,GO=GC.DGAC,DGO=DGC=90.又DG=DG,DGCDGO,CD=OD.F是BO中点,OF=2 cm,BO=4 cm.四边形ABCD是矩形,DO=BO=4 cm,DC=4 cm,DB=8 cm,CB=4(cm)矩形ABCD的面积=44=16(cm2).解题策略本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.【针对
10、训练2】如图,在四边形ABCD中,A=BCD=90,BC=CD,CEAD,垂足为E.求证AE=CE.解析作BFCE于F,证明RtBCFRtCDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.证明:作BFCE于F,BCF+DCE=90,D+DCE=90,BCF=D,又BC=CD,BFC=CED=90,RtBCFRtCDE,BF=CE,又BFE=AEF=A=90,四边形ABFE是矩形,BF=AE,AE=CE.规律方法在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.专题三菱形的判定、性质及其应用【专题分析】考查菱形的判定、性质的题目
11、,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)求证BAC=DAC,AFD=CFE;(2)若ABCD,求证四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使EFD=BCD,并说明理由.解析(1)利用已知条件和公共边,证得ABCADC,即可证明BAC=DAC;再证明ABFADF,得到AFB=AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知DAC=ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,
12、即可证明结论;(3)当BECD时,由(2)可知BC=CD,BCF=DCF,利用BCFDCF,证得CBF=CDF,再利用等角的余角相等即可证明EFD=BCD.证明:(1)AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC.BAC=DAC, AB=AD,BAF=DAF,AF=AF,ABFADF.AFB=AFD,又CFE=AFB,AFD=CFE.(2)ABCD,BAC=ACD.又BAC=DAC,DAC=ACD.AD=CD. AB=AD,CB=CD,AB=CB=CD=AD.四边形ABCD是菱形.解:(3)当BECD时,EFD=BCD.理由如下:四边形ABCD为菱形,BC=CD,BCF=DCF.又CF为公
13、共边,BCFDCF,CBF=CDF.BECD,BEC=DEF=90,从而可知EFD=BCD.规律方法(1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.【针对训练3】如图所示,DE是ABCD中ADC的平分线,EFAD,交DC于F.(1)求证四边形AEFD是菱形;(2)如果BAD=60,AD=5,求菱形AEFD的面积.解析(1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得AED=1,根据等角对等边得AD=AE,
14、再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,DFAE,EFAD,四边形DAEF是平行四边形,DE是ADC的平分线,1=2,DFAE,2=AED,AED=1.AD=AE.四边形AEFD是菱形.解:(2)BAD=60,AED为等边三角形.DE=AD=AE=5,连接AF,与DE相交于O,则EO=,OA=,AF=5.S菱形AEFD=DEAF=55=.解题策略此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.专题四正方形的判定、性质
