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1、新洲区第一初级中学,石国清,最短路径问题,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,思维分析,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵!,上述
2、方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而 转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,问题延伸一,如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路
3、径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处,思维方法一,1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2， 使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题
4、可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.,连接A1P交的对岸于点，在点处建桥,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把点、，使， ； 连接交于点相邻河岸于点，建桥； 连接交的对岸于点，建桥； 从点到点的最短路径为MMN,思维方法二,沿垂直于第一条河岸方向平移点至 点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,思维方法三,沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BBPQ，BB MN ； 连接BA交于A点相邻河岸于M点，建桥MN； 连接BN交B的对岸于P点，建桥PQ； 从
5、点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1B,问题延伸二,如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB,桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，
6、使AAMN，AA PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AA PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B点至B1、B2 ,使BB1GH，B1B2 =PQ ； 连接A1
7、B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ； 连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH； 此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1 ,使BB1GH ； 连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ； 连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥； 此时从A到B点路径最短.,问题解决,延伸小结,同样，当、两点之间有、，条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题,例如： 沿垂直于河岸方向平移点依次至、3 ，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，.，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短.,
