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1、2006年湖北高考数学试题(理科)一、选择题:本大题10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b=A.() B.() C.() D.(1,0)2.若互不相等的实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=A.4 B.2 C.-2 D.-43.若ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA=A. B. - C. D.-4.设,则的定义域为A.(-4,0)(0,4) B.(-4,-1)(1,4)C.(-2,-1)(1,2) D.(-4,-2)(2,4)5
2、在的展开式中,的幂的指数是整数的项共有A3项 B4项 C5项 D6项6关于直线、与平面、,有下列四个命题:若,且,则;若,且,则;若,且,则;若,且,则。其中真命题的序号式A B C D7. 设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若,且=1,则P点的轨迹方程是A. 3x2+y2=1 (x0,y0) B.3x2-y21(x0, y0)C.x2-3y2=1(x0,y0) D. x2+3y2=1(x0,y0)8.有限集合S中元素的个数记作card(S)。设A、B都为有限集合,给出下列命题:AB=的充要条件是card(AB)=ca
3、d(A)+cad(B);AB的必要条件是cad(A)card(B);AB的充分条件是cad(A)card(B);A=B的充要条件是cad(A)=card(B).其中真命题的序号是A. B. C. D. 9. 已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m=A. -2 B. -1 C. 1 D. 410. 关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根存在实数k,使得方程恰有5个不同的
4、实根存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第卷(非选择题 共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11. 设x、y为实数,且,则x+y=_.12. 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为_.(精确到0.01)13.已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切,则a的值为 _.14.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工
5、程的不同排法种数是_.(用数字作答)15.将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个如右所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出,其中x_.令a,则 _.三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)设函数,其中向量,。()求函数的最大值和最小正周期;()将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的。17、(本小题满分13分)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为。数列的前n项和为,点均在函数的图像上。()求数列的通项公式;()设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数
6、m。18、(本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m,()试确定m,使得直线AP与平面BDB1D1所成角的正切值为;()在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,并证明你的结论。19、(本小题满分10分)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。()试问此次参赛的学生总数约为多少人?()若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数约为多少分?可供查阅的(部分)标准正态分布表x00123
7、4567891.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.9
8、8030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985720.(本小题满分14分)设A、B分别为椭圆()的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线。()求椭圆的方程;()设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。(此题不要求在答题卡上画图)21.(本小题满分14分)设x=3是函数的一个极值点.(I)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;(II)设0,=().若存在使得|1成立,求的取值范
9、围.2006年湖北高考数学试题(理科)参考答案一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分50分。 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.C 10.A二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分25分。 11.4 12.0.94 13.18或8 14.20 15.r+1,三、解答题16.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推力和运算能力解:(I)有题意的 = = 故f(x)的最大值为,最小正周期是(II)由得,即于是因为k为正数,要使最小,则只要k=1,此时即为所求17、本小题主要考查二次函
10、数、等差数列、数列求和、不等式等基础和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。解:(I)依题意可设则由 得 所以又由点 均在函数的图像上得当 时当 时所以(II)由(I)得故,=因此使得成立的m必须且必须满足即故满足最小的正整数m为1018、本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法:()故。所以。又.故在,即.故当时,直线。()依题意,要在上找一点,使得.可推测的中点即为所求的点。因为,所以又,故。从而解法二:()建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,),C(0,1,
11、0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为,则依题意有:,解得.故当时,直线。()若在上存在这样的点,设此点的横坐标为,则。依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时,满足题设的要求.19.本小题主要考查正态分布、对立事件的概念和标准正态分布表的查阅,考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解:(1)设参赛学生的分布数为,因为,由条件知:这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28因此,参赛总人数约为(2)假定设奖的分数线为分,则即,查表得,解得故设奖的分数线约为83分.2
12、0.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解()依题意得 解得 从而故椭圆方程为()解法1:由()得设M点在椭圆上, 又M点异于顶点A、B,由P、A、M三点共线可得 从而 将式代入式化简得于是为锐角,从而为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。解法二:由()得.设,则直线AP的方程为,直线BP的方程为.点M、N分别在直线AP、BP上,.从而联立消去得=0 是方程的两根,即又于是由、式代入式化简可得N点在椭圆上,且异于顶点A、B,又,从而故为钝角,即点B在以MN为直径的圆内。解法3:由()得,设则.又MN的中点Q的坐标为,化简得 直线AP的方程为,直线BP的方程为点P在准线上,即又M点在椭圆上,即 于是将、式代入式化简可得从而B在以MN为直径的圆内。21本小题主要考查函数、不等式和导数的应用知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解:(1)由得所以令得由于是的极值点,故,即当时,故在上为减函数,在上为减函数,在上为增函数当时,故在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数.(2)当时,故在上为增函数,在上为减函数,在上为减函数因此在上的值域为而在上为增函数,所以值域为注意到,故由假设知解得故的取值范围是由于考前忙于复习,基本不会花时间了解有关信息