《代数学的新生》课件1

《《代数学的新生》课件1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《代数学的新生》课件1（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、代数学的新生,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,五次或更高次方程的代数求解公式的探索,拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813） 1770年发表论文 关于代数方程解的思考 提出根的置换理论是解决代数方程的关键,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,阿贝尔（N.Abel 18021829）

2、 是挪威的一个乡村牧师的儿子， 幼年丧父。阿贝尔只活了27岁， 但留下了许多创造性贡献。1824年 当时只有22岁的大学生阿贝尔 第一次作出了“五次方程代数解法不可能存在”的正确证明。,阿贝尔（N.Abel 18021829）,代数方程的可解性与群的发现,1824年，阿贝尔在自费出版的小册子 论代数方程，证明一般五次方程的不可解性中，严格证明了以下事实： 如果方程的次数n4，并且系数看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的解。,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝

3、尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,阿贝尔的理论并未解决具体方程能不能用根式求解的问题。这个问题为法国青年数学家伽罗瓦彻底解决。 法国青年数学家伽罗瓦在18291831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,伽罗瓦（E.Galois 18111832） 是法国巴黎附近一个小村镇长的 儿子。一生只有短短的21年时光， 却对世间留下许多宝贵的财富。 伽罗瓦提出了群的概念，用群的 理论

4、彻底解决了高次方程根式可 解性的问题,伽罗瓦（E.Galois 18111832）,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,他首先确定了一个方程根的置换群的子群，现在称为“伽罗瓦群”。如果令方程系数域为 ，方程的根域为 ，那么伽罗瓦群就是 在 上的自同构群。 伽罗瓦证明，方程根式可解的充要条件是方程的伽罗瓦群是可解群,伽罗瓦发展了拉格朗日的置换理论，他更进一步提出了群的概念。用他所提出的群的概念，伽罗瓦彻底解决了方程根式可解性问题。,代数方程的可解性与群的发现,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出

5、，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,1870年，法国数学家 若尔当（C.Jordan 18381922） 根据伽罗瓦的思想写一本大书 论置换与代数方程,代数方程的可解性与群的发现,近代群理论的完善 矩阵、四元数 同一判别式的二次型类 运动群 无限变换群 李群 群的定义,早期探索 不可解性的证明，阿贝尔 彻底解决，置换群的提出，伽罗瓦 近代群理论的完善 返回,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,复数与向量,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返

6、回,复数与向量能够很好的对应，人们开始用复数表示向量及其运算，用复数表示力、速度这类有大小和方向的量，这种方法带给人们很多便利,平行四边形法则,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,爱尔兰数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton 1805-1865）在英国数学史上的地位仅次于牛顿。 1843年10月16日哈密尔顿发现了“四元数”（Quaternion），“四元数”的发现是19世纪代数学方面继群概念后的一个最重要的发现,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,哈密尔顿首先把复数看成是有序实数偶,

7、并且这种数偶有如下加法和乘法,哈密尔顿发现他要找的数应该具有四个分量，他将其命名为四元数，形如：,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,格拉斯曼(H.G.Grassmann) 德国数学家，语言学家 ，社会活动家，与哈密尔顿(Hamilton)同时分别建立了超复数,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,1844，格拉斯曼出版了线性扩张论,第一个明白地解释了“n维向量空间” “扩张的量”n个分量的超复数 超复数的两个乘法内积与外积,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,从格

8、拉斯曼的定义中，我们可以知道超复数对于外积满足交换律，但是内积不满足交换律 我们在n=2时对内积和外积做一个直观了解,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,麦克斯韦对四元数的改造,数量部分,向量部分,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,19世纪80年代 美国数学物理学家吉布斯 (J.W.Gibbs) 英国数学物理学家亥维赛 (O.Heaviside),三维向量代数和向量分析,从四元数到超复数,复数与向量 复数的推广哈密尔顿与格拉斯曼 超复数与向量 返回,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数,布尔代数,逻辑

9、数学的发展 布尔 布尔代数 返回,逻辑数学化思想：,建立一种推理的代数，通过符号的组合表达复杂的思想，用代数演算来完成正确的推理过程,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数 返回,谓词的量化：,传统逻辑“主谓”形式的命题,1全称肯定命题：所有X是Y； 2全称否定命题：所有X不是Y； 3特称肯定命题：有些X是Y； 4特称否定命题：有些X不是Y。,传统命题只有主词是被量化的，19世纪上半叶逻辑学家开始考虑谓词的量化，而谓词量化使 用等式处理命题成为可能,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数 返回,布尔（BooleGeorge） 英国数学家及逻辑学家。1815年生于法国撒雷旺村。1864年12

10、月8日卒于爱尔兰的科克。,布尔：,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数 返回,布尔代数：,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数 返回,布尔代数：,小写x、y、z表示类（集合） 大写X，Y，X代表个体元素 1表示全类或称论域 0代表空类 两个类x和y相加用x+y表示 两个类x和y相乘用xy表示 1-x代表那些所有不在x中的个体元素组成的类 两个类相减x-y x包含y则可写成y=xy,类,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数 返回,布尔代数：,命题,所有X是Y x(1-y)=0 所有X不是Y xy=0 有些X是Y xy0 有些X不是Y x(1-y)0,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布

11、尔代数 返回,布尔代数：,原理,xy=yx x+y=y+x x(y+z)=xy+xz X(y-z)=xy-xz 如果x=y,则xz=yz 如果x=y，则x+z=y+z 如果x=y，则x-z=y-z x(1-x)=0,或者x=0，或者x=1,布尔代数,逻辑数学的发展 布尔 布尔代数 返回,布尔代数：,改进,杰文斯（W. S. Jevons） 去掉了相加的类必须是不相交的这一限制，使得x+x=x成为一个合法的逻辑规律 皮尔斯（C. S. Peirce） 区分了命题和命题函数 施罗德（F. W. K. E. Schroder） 逻辑代数讲义（18901905） 弗雷格（G. Frege） 数学基础传

12、统 佩亚诺（G. Peano）、怀特黑德和罗素,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,高斯与数论:,高斯（C. F. Gauss，17771855） C.F. Gauss 是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。 他有数学王子的 美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,高斯与数论:,算术研究,数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,高斯与数论:,同余理论,代数数论,高斯 数论

13、 库默尔 现代代数数的理论 返回,高斯与数论:,二次非剩余,二次互反律,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,高斯与数论:,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,高斯与数论:,复整数理论,复整数形如a+bi，其中a，b是整数的复数 复整数论中的可逆元素是1和i 复素数不能分解为除可逆元素及其本身以外的复整数的乘积的复整数 复整数算术基本定理 ,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,库默尔:,库默尔（E. E. Kummer，18101893）德国人数学家。库默尔在数论、几何学、函数论、数学分析、方程论等方面都有较大的贡献，但最主要的是在函数论、数

14、论和几何三个方面。,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,库默尔:,费马大定理,xp+yp=zp，p是奇素数,xp=zpyp,xp=(zy)(zy)(zp-1y), p-1+ p-2+ +1=0,f()=a0+a1+ap-1p-1,理想数,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，18311916）又译狄德金，伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据辞海，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。,现代代数数的理论:,代数数论,高斯 数论 库默尔 现代代数数的理论 返回,现代代数数的理论:,n次代数数 如果一个数r是整系数代数方程 的根，但不是次数低于n的这种方程的根，就称它是一个n次代数数 数域 如果a，F，则a+，a，a，a/(0)F,F为数域 代数数类,