《代数学的新生》课件2

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1、数学史,代数学的解放,在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革,当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：,1高于四次的代数方程的根式求解问题； 2欧几里得几何中平行公理的证明问题； 3牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题.,在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期,本章要介绍的是代数学中的革命性变化。,11.1 代数方程的可解性与群的发现,11.1.1 问题的提出,中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程

2、的学问直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上,数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如,(其中 )的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢?,在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性但是所有寻求这种解法的努力都失败了历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上方程”的数学家是拉格朗日,拉格朗日在1770年发表的关于代数方程解的思考一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二、三、四次方程的一切解

3、法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次及更高次方程是不可能发生的拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而经过顽强的努力(他的论文长达200页)之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好象是在向人类的智慧挑战”,迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个多世纪，来自挪威的一位年青人1824年，年仅22岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子论代数方程，证明一般五次方程的不可解性，在其中严格证明了以下事实：,如果方程的次数 ，并且系数 看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根,他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”在这一工作中，他实际上引进了

4、“域”(field)这一重要的近世代数概念,11.1.2 阿贝尔与一般五次方程的不可解性,阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲SG阿贝尔(Abel)是个牧师幼时，他就显露出数学上的才能但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育,1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师 洪堡(Holmbo)后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才,良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣阿贝尔迅速学完了初等数学课程然后，他在洪堡的指导下攻读高等数学，同时还

5、自学了许多数学大师特别是欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagran-ge)和高斯(Gauss)的著作,阿贝尔在中学最后两年时间里，如何求解五次方程问题吸引着他在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题最初，他自认为解五次方程已获成功洪堡与奥斯陆大学教授汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版,德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手

6、构造五次方程解的例子但结果失望地发现，他的方法是错误的另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论,1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学大学期间他把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题” 中首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但长时期没有引起人们的重视,1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式该证明写进了“论代数方程证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图他深知其结果的重要性，决定先以小册子

7、形式自费出版它为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题总之，这篇论文在当时没有得到任何一位外国数学家的重视,1825年，阿贝尔大学毕业他到了德国柏林结识了一位很有影响的工程师克雷尔(Crelle)克雷尔虽不是数学家，但对数学有浓厚的兴趣克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志后被称为克雷尔杂志它的第一卷刊登了5篇阿贝尔的文章，其中有关于一般五次方程不能用根式求解的证明克雷尔杂志头三卷发表了阿贝尔包括方程论、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文从此，欧洲大陆数学家才开始注意他

8、的工作,1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，他写了一篇题为“关于一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院当时科学院的秘书傅里叶(Fourier)读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价这篇论文很长而且难懂，因为它包含了许多新概念柯西把它放在一边，醉心于自己的工作勒让德也把它忘了,1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆回国后更失望，仍然没有找到职位的希望，他不得不靠作家庭教师维生在贫病交迫中，他并没有倒下去，仍在坚持研究，取得了许多重大成果他写下了一系列关于椭圆函数的文章.,1829年4月6日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。阿贝尔死

9、后两天，克雷尔的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。 此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年6月28日，他和雅可比(Jacobi)共同获得了法国科学院大奖,11.1.3 伽罗瓦与置换群,在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式来求解?这个问题稍后被一位同样年青的法国数学家伽罗瓦(1811-1832)解决,伽罗瓦,伽罗瓦在18291831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解这一经历了三百年的难题的彻底解决 伽罗瓦的思想是将一个 次方程,的 个根 (由代数基本定理可知) 作为一个整体来考察，并研究它们之间的排

10、列或称“置换”,为了容易理解起见，我们以四次方程的四个根 为例，在包含这些 的任何表达式中交换 和 就是一个置换，用,来表示另一个置换用,表示第一个置换后再实行第二个置换，等价于实行第三个置换,这是因为(以 为例)，由第一个置换 变成 ，由第二个置换 又变成 ，而由第三个置换 直接变换成 .我们说头两个置换按上述顺序作成的“乘积”就是第三个置换，即 对于四次方程的情形，易知共有4!=24个可能的置换这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为“群”。伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的,进一步考虑一个方程根的置换群中某些置换组成

11、的“子群”(最大正规子群)。,考虑由方程系数 的全部有理系数有理分式的集合这个集合，现在叫方程的“基本域”，并记为 , 为有理数域,设法找到一个方程的根的以 的元素为系数的代数关系式,且对“子群” 中的一切置换保持不变由最大正规子群的性质判断方程的可解性 我们以四次方程为例来说明这个重要的概念,设方程,其中 是独立的，令 是 的有理表达式形成的域(基本域)，,这个方程的四个根：,是我们已经知道的，并且容易看出这些根的系数在 中的下列两个关系成立：,可以验证，在方程根的所有24个可能置换中，下面8个置换,都能使上述两个关系在 中保持成立，并且这8个置换是24个置换中，使根之间在域 中的 代数关系

12、 都保持不变的仅有的置换 这8个置换就是方程在域 中的群，即伽罗瓦群,需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性伽罗瓦于是指出，方程的群(即伽罗瓦群)与它是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件(即方程的群是可解群)时，方程才是根式可解的，也就是说他找到了方程根式可解的充分必要条件,在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过方程根的置换,并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学”，但他却未能继续前进只是伽罗瓦通过引进全新的群的概念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包

13、括欧拉，拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题,伽罗瓦(E.Galois，18111832) 1811年出生于巴黎附近，他是一个小镇镇长的儿子。刚过十五岁生日，他就显示出非凡的数学天才。他两次报考高等工艺学院，两次落榜，因为他不能满足考官们的死板的要求，他们根本理解不了伽罗瓦的天才。伽罗瓦坚持不懈，终于在1829年进了师范学院，准备当个教师。但第二年因参加反对波旁王朝的“七月革命”而被校方开除，,以后又因参加政治活动被捕入狱释放后不久，在1832年5月的一天，伽罗瓦在爱情纠葛而挑起的一场手枪决斗中身亡，死时不到21岁,伽罗瓦,在中学时 伽罗瓦熟练地掌握他那个时候的数学课本，继而攻读勒让德、雅科

14、比和阿贝尔的重要论文，而后搞他自己的数学创作。在他的第十七个年头里，获得很重要的成果，但是，他送给法国科学院的两篇研究报告被法国科学院不可原谅地丢失了，第一次所交论文被柯西遗失了，第二次则被傅立叶遗失，这对他又是一个挫折。1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。最后结论是“完全不能理解”。,在伽罗瓦意识到很可能被杀的这场决斗的前夕，他以给一个朋友的信的形式写了他的科学遗嘱。这遗嘱，只有伟大的数学家才能理解，它实际上包含关于群论和方程的所谓伽罗瓦理论。

15、方程的伽罗瓦理论，奠定了群论的概念基础，提供了用根式解代数方程的可能性的判别准则,伽罗瓦的思想大大超出了他的时代他的工作可以看成是近世代数的发端这不只是因为它解决了方程根式可解这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革,19世纪后半叶，数学家们认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不必仅限于置换群凯莱(A.Cayley)在18491854年间指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群18681869年间，若尔当(C.Jordan) 开展了无限群(即有无限多个元素的群)的系统研究若尔当的工作又影响克莱因(F.Klein)关于几何分类中的无限变换群的研究18741883年间，挪威数学家李(S.Lie)又研究了无限连续变换群到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。,经过抽象定义的群，可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算(不妨称它为乘法，用表示)满足如下的性质：,1封闭性. 集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；,2结合性对于集合中任意三个元素 满足结合律,3存在单位元 ，使对该集合中任意元素