《2018年高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象（选学）课件 新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象（选学）课件 新人教b版必修1（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学),一,二,三,一、奇偶函数的定义 【问题思考】,提示:y= 的定义域为x|x0,经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值互为相反数,则其函数值相等.即对xx|x0总有f(-x)=f(x)成立,我们把这类函数称为偶函数. (2)你还能得出函数f(x)=x5在xR时仍有上述(1)问中的规律吗? 提示:f(x)=x5满足的规律是对xR,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把这类函数称为奇函数. 2.一个函数具有奇偶性,其定义域有什么特点? 提示:一个函数若具有奇偶性,其定义域一定关于原点对称,这等价于定义中的“对D内的任
2、意一个x,都有-xD”这一说法.,一,二,三,3.填写下表: 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,一,二,三,4.做一做:(1)下列函数是偶函数的为( ) A.y=2|x|-1,x-1,2 B.y=x3-x2 C.y=x3 D.y=x2,x-1,0)(0,1 答案:D (2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x2 C.y= D.y=x|x| 答案:D,一,二,三,二、奇、偶函数的图象特征 【问题思考】 1.如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值? 提示:f(x)的图象关于原点对称,即f(x)
3、为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0. 2.若f(x)为奇函数,且点(x,f(x)在其图象上,则哪一个点一定在其图象上?若f(x)为偶函数呢? 提示:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x)一定在其图象上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x)一定在其图象上.,一,二,三,3.填空. (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反
4、之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数. 名师点拨奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0ab)上有相同的最大(小)值.,一,二,三,4.做一做:图中表示偶函数的图象的是 (填序号).,一,二,三,解析:中函数的定义域不关于原点对称,所以表示的不是偶函数的图象;中的函数图象不关于y轴对称,所以表示的不是偶函数的图象;中函数的定义域关于坐标原点对称,而图象又关于y轴对称,所以表示的是偶函数的图
5、象;中函数的定义域关于原点对称,且图象关于y轴对称,所以表示的是偶函数的图象.故填. 答案:,一,二,三,三、(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令 填空. (1)给自变量x赋值; (2)给出计算法则,求对应的y值; (3)由x和对应的y值组成有序数对集合; (4)建立平面直角坐标系,并根据有序数对,在平面直角坐标系中作出对应的点集; (5)通过这些点集描出函数的图象. 注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)奇函数的图象一定过原点. ( ) (2)偶函数的图象一定是轴对称图形. ( ) (3)既是奇
6、函数又是偶函数的函数只有f(x)=0,xR. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性:,思维辨析,分析:先求定义域,验证定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,进而做出判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟如何判断函数的奇偶性 1.判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下: (1)求f(x)的定义域; (2)若定义域不关于原点对称,则函
7、数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系. 2.对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性: (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; (2)奇函数的和、差仍为奇函数; (3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1下列函数是偶函数的为( ) A.y=2|x|-1,x-1,2 B.y=x3-x2 C.y=x3 D.y=x2,x-1,0)(0,1 解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,
8、f(-x)f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由函数的奇偶性求函数的解析式 【例2】 已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x|x-2|,求当x0. f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|. f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x). f(x)=x|x+2|. 故当x0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.函数具有奇偶性,若只给出了部分区间上的解析式,则可以
9、利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式,其解题理论为函数奇偶性的定义. 正用定义可以判断函数的奇偶性,逆用可以求出函数在对称区间上的解析式. 2.结论: (1)若f(x)是奇函数,且已知x0时的解析式,则x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,若本例题中题干不变,如何求当x0时,f(x)的表达式? 解:只需将f(0)单独求出. 因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0. 又因为f(x)=x|x+2|,x0, 所以f(x)=x|x+2|,x0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,
10、奇、偶函数图象的应用 【例3】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是( ) A.(-,2) B.(-2,2) C.(-,-2)(2,+) D.(2,+) 解析:由偶函数f(x)在(-,0上为增函数,且f(2)=0,可 知函数f(x)在0,+)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0. 于是可得出如图的草图. 由图可知使f(x)0的x的取值范围是(-,-2)(2,+),故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.研究函数图象时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性. 2.利用函数的奇偶性作图
11、,其依据是奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图象)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图象),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2奇函数f(x)的定义域为-5,5,它在y轴右侧的图象如图所示,则f(x)0的x的取值集合为 .,解析:奇函数f(x)在-5,5上的图象如图所示,由图象可知,x(2,5)时,f(x)0. 因为其图象关于原点对称,所以x(-5,-2)时,f(x)0;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0,或2x5. 答案:x|-2x0,或2x5,探究一
12、,探究二,探究三,思维辨析,因忽视x的限制条件而致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,防范措施1.判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,才能说明该函数的奇偶性.一般方法是先在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且应该进行双向验证,若函数在x=0处有定义,还要对f(0)加以验证. 2.对于此题,需对x0,x0的情况分别说明,不能简单地比较f(-x)与f(x).,1,2,3,4,5,6,1.下列函数是偶函数的为( ) A.f(x)=x2 B.f(x)=x C.f(x)= D.f(x)=x+x3 答案:A,1,2,3,4,5,6,2.
13、有下列说法: 偶函数的图象一定与y轴相交; 若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0; 既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,xR; 若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图象. 其中不正确的是( ) A. B. C. D. 解析:中可举反例f(x)=x2+2,x(-,-2)(2,+);中f(x)在x=0处可能无定义;中也可以是f(x)=0,xA(A为关于原点对称的数集);中该图形可能不是函数的图象.故均错误. 答案:D,1,2,3,4,5,6,3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= . 解析:f(-2)=(-2)
14、5+5(-2)3+b(-2)-8=10, 25+523+2b=-18. f(2)=25+235+2b-8=-18-8=-26. 答案:-26,1,2,3,4,5,6,4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x(-,0)时,f(x)=x-x4;当x(0,+)时,f(x)= . 解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替, 即答案为-x-x4. 方法二:设x(0,+),则-x(-,0), 则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4. 又y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x). f(x)在区间(0,+)上的函数表达式为f(x)=-x-x4. 答案:-x-x4,1,2,3,4,5,6,5.函数f(x)(xR),若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数. 证明:令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0. 又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b), 得f(-x+x)=f(-x)+f(x). 即f(-x)+f(x)=0,f(-x)=-f(x). f(x)为奇函数.,1,2,3,4,5,6,分析:先判断f(x)的奇偶性,再根据图象特征补全函数f(x)的图象;证明f(x)+g(x)=1的关键是先求出g(x)的解析式.,1,2,3,4,5,6,
