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1、二次函数路径最值问题探究,成都嘉祥外国语学校数学组 陈雪梅,中考复习专题,中考题赏析,（2013达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3取BO的中点D，连接CD、MD和OC （1）求证：CD是M的切线； （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求PDM的周长最小时点P的坐标 （3）在（2）的条件下，当PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使SQAM= SPDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,1、已知两定点， 一定线，一动点。,河,2、已知一定点， 两定线，
2、两动点。,河,河,解题三部曲,1、作对称点,2、连线,3、求交点,A,B,P,A,P,Q,基本问题类型,问题的实质,河,1、求和最小,原理：两点之间 直线最短,2、求差最大,河,原理：三角形任意两边 之差小于第三边,常规问题,(2,-3),(4,-1),例1 已知平面直角坐标系中，点A（2，-3），B（4，1）， 在x轴上存在一点P，使得PA+PB最小。请求出点P的坐标。,C,(4,1),P,(3.5,0),1、作对称点,2、连线,3、求交点,变式一：三角形周长最短,例2 已知在对称轴上存在一点P，使得 的周长最小。请求出点P的坐标。,x=-1,(-3,0),(1,0),(0,-2),C,D,
3、(-2,-2),P,(-1, ),1、作对称点,2、连线,3、求交点,变式二：四边形周长最短,例3 G为直线PQ上一点，H为x轴上一点。求点G、H,使得四边形DFHG的周长最小，并求周长,(-1,0),(2,3),(0,1),F,J,(0,-1),G,H,(1,1),(0,0.5),D,1、作对称点,2、连线,3、求交点,D,J,F,E,G,H,变式三：对称轴不平行于x轴或y轴,例4 点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。,y,A,x,B,O,O,(-2,0),(4,0),45,C,(10,-6),M,y=0.5x-1,1、作对称点,2、连线,3、求交点(求直线
4、解析式）,D,(10,0),y=x-10,变式三：对称轴不平行于x轴或y轴,例5 点M在直线y= x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。,A,B,C,(-2 ,0),(4 ,0),(10 ,0),(0,-10),(7 ,-9),M,y=- x-2,变式四：最大距离差,例6 求抛物线对称轴上点M的坐标，使点M到点A和B的距离之差最大。,(-3,0),(5,4),(0,4),B,M,( 2.5， ),1、作对称点,2、连线,3、求交点,（2013达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3取BO的中点
5、D，连接CD、MD和OC （1）求证：CD是M的切线； （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求PDM的周长最小时点P的坐标 （3）在（2）的条件下，当PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使SQAM= SPDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由,P,解决求最短路径问题运用了什么（知识）？,在解决问题的过程中运用了什么（方法）？,这过程中体现了什么样的数学（思想）？,两点之间线段最短,对称,实现转化，体现化归的数学思想,归纳、总结,感悟数学思想！ 创造美好生活！,2、（浙江省绍兴市） （3）如图3，若F1： ，经过变换后，AC ， 点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值,，,。,。,P,如图，已知二次函数 的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且 (1)求c的值； (2)若ABC的面积为3，求该二次函数的解析式； (3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,练习2：,思考题,
