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1、人教版2020届九年级数学（上）第21章一元二次方程专题培优练习知识要点扫描归纳一 基本概念1. 方程定义：含有未知数的等式叫方程。2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。4.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为 （）.二、一元二次方程的解法1直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解.2配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为
2、基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解.3公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程求根公式是：（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定的值，在的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。2 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如：如果，
3、那么x1=0或x5=0。因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。3 因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。4形如的方程，可用提公因式法求方程的根：。5形如的方程，可用平方差公式把左边分解。三、一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根的判别式： （1）方程有两个不等实数根 （2）方程有两个相等实数根 （3）方程无实数根（4）方程有两个实数根 运用根的判别式时要注意：关于的方程有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则
4、若有实数根，则分两种情况：；四、一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 1若一元二次方程的两个实数根为，则 2以为根的一元二次方程可写成 3使用一元二次方程的根的判别式解题的前提是二次项系数 4不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根的对称式的值的方法是先将式子化成只含，的形式，然后利用根与系数的关系代入求值要特别注意如下公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题
5、，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1） 找找出题中的等量关系（2） 设设未知数（3） 列列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4） 解解出所列的方程（5） 验将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检
6、验（6） 答作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点训练一、考察一元二次方程概念1下列方程不是整式方程的是（ ）A、 B、 C、 D、2下列方程不是一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、x2+x-1=x2 3方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）A、 B、 C、=-2 D、4一元二次方程，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（ ）A、 B、 C、 D、二、考察一元二次方程根的概念1.若一元二次方程x
7、2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= 2已知x=1是一元二次方程的一个根，则 的值为 3.已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。三、考察一元二次方程解法1一元二次方程的解为_2方程的解是3方程 = x 的根是_.4方程的两根为( )A6和-1B-6和1C-2和-3D2和35一元二次方程x240的解是（ ）Ax12，x22 Bx2 Cx2 D x12，x206方程的根是 (A) (B) (C) （D）7方程x(x1)2的解是Ax1Bx2Cx11，x22Dx11，x228解方程：四、考察一元二次方程判别式1 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范
8、围是 2（ 江苏连云港）若关于x的方程x2mx30有实数根，则m的值可以为_(任意给出一个符合条件的值即可)3如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是 4下列四个说法中，正确的是 A一元二次方程有实数根； B一元二次方程有实数根； C一元二次方程有实数根； D一元二次方程x2+4x+5=a(a1)有实数根5关于x的方程(a 5)x24x10有实数根，则a满足（）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da56一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足（ ）0 0 0 07已知一元二次方程 x2 + x 1 = 0，下列判断正确的是（ ）A.该方程有两个相等的实数根 B.该方
9、程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定8关于x的一元二次方程x26x2k0有两不等实根，则实数k的取值范围是（ ）AkBkCk Dk9下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）Ax+1=0 B9 x6x+1=0 Cx Dx10已知关于x的一元二次方程x-4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根11已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为，且+3=3，求m的值。12若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.13已知关于的一元二次方程有两个实数根和（1）求实数的取值范围；（2）当
10、时，求的值14关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根15已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。16（6分）当实数k为何值时，关于x的方程x4x3k0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根。五、考察一元二次方程根与系数关系1已知x1、x2为方程x23x10的两实根，则x138x220_2设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_3已知、是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（-3）（-3）= 4设x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的两个根， 2x1(x22+5x23)+a =2，则a= 5
11、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x1-1）=_。6已知一元二次方程的两根为、,则_.7一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2, 则x1+x2等于 A. 5 B. 6 C. -5 D. -68阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2= ，x1x2= 根据上述材料填空：已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则 +=_. 9方程-1的两根之和等于 .10如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（A）3，2
12、 （B）3，-2 （C）2，3 （D）2，3 11已知方程的两个解分别为、，则的值为A B C7 D312已知是方程的两根，且，则的值等于 （ ）A5 B.5 C.-9 D.913若关于的一元二次方程有实数根（1） 求实数k的取值范围；（2） 设，求t的最小值14已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值15已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值
