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1、期末复习(三)平行四边形各个击破命题点1平行四边形的性质与判定【例1】(深圳中考)已知BD垂直平分AC，BCDADF，AFAC.(1)证明：四边形ABDF是平行四边形；(2)若AFDF5，AD6，求AC的长【思路点拨】(1)用垂直平分线的性质证得BADBCD，而BCDADF，则ADFBAD，所以ABFD，因为BDAC，AFAC，所以AFBD，即可证得；(2)先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得【解答】【方法归纳】要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法1(桂林中考)在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作
2、直线EF分别交线段AD、BC于点E、F.(1)根据题意，画出图形，并标上正确的字母；(2)求证：DEBF.命题点2特殊平行四边形的性质与判定【例2】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AD2AB，E是AD边上一点，DEAD(n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；(2)当ABa(a为常数)，n3时，求FG的长；(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当时，求n的值(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】(1)要证四边形BFEG是菱形，可以先证明四边
3、形BFEG是平行四边形，再证明对角线垂直即可；(2)根据ABF是直角三角形，应用勾股定理构造方程求解；(3)由于两个四边形的高相等，所以根据面积相等可得，然后设出ABx，则DE、BG都可以用含有x的式子表示，再利用在RtABF中，AB、AF、BF三边满足勾股定理求出AF的长，进而根据线段的和差关系求出AE、DE的长，从而得到n的值【解答】【方法归纳】(1)证明四边形是菱形的方法主要有三种方法一般的思路是先证明四边形是平行四边形，然后再证明平行四边形是菱形(2)在已知问题中存在直角三角形求线段长时，我们通常的做法是利用勾股定理构造方程求解2如图，在等腰ABC中，ABAC，AD是BAC的角平分线，
4、P是AD上任意一点，过P点作EFAB，PMAC.(1)证明四边形PFAM为菱形；(2)当菱形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时，P点在AD上的何处？命题点3与四边形有关的探究题【例3】(临沂中考)问题情境：如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM.探究展示：(1)证明：AMADMC；(2)AMDEBM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明 图1图2【思路点拨】(1)从平行线和中点这两个条件
5、出发，延长AE、BC交于点N，易证ADENCE，从而有ADCN，只需证明AMNM即可；(2)作FAAE交CB的延长线于点F，易证AMFM，只需证明FBDE即可；要证FBDE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可；(3)在图2中，仿照(1)中的证明思路即可证得AMADMC仍然成立；在图2中，采用反证法，并仿照(2)中的证明思路即可证得AMDEBM不成立【解答】【方法归纳】探索性问题关键是对题型中的变量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，借用类比思想逐步解题，一般情况下，每一问采取的方法步骤基本相同可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”3(绥化中考)已知，在ABC中，B
6、AC90，ABC45，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：CFCDBC；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，求OC的长度整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1(珠海中考)边长为3 cm的菱形的周长是()A6 cm B9 cm C1
7、2 cm D15 cm2在ABCD中，已知AB(x1)cm，BC(x2)cm，CD4 cm，则ABCD的周长为()A5 cm B10 cmC14 cm D28 cm3(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是()A8 B4 C8 D164(娄底中考)下列命题中，错误的是()A平行四边形的对角线互相平分B菱形的对角线互相垂直平分C矩形的对角线相等且互相垂直平分D角平分线上的点到角两边的距离相等5(襄阳中考)如图，在四边形ABCD中，ADBC，DEAB，DEDC，C80.则A等于()A80 B90 C100 D1106(陕西中考)如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线AC6，过点A作
8、AEBC，垂足为E，则AE的长为()A4 B. C. D57(黔南中考)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为EBD，则下列说法错误的是()AABCD BBAEDCE CEBED DABE一定等于308 (曲靖中考)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，连接AF、BE，CE、DF分别交于点M、N，四边形EMFN是()A正方形 B菱形 C矩形 D无法确定9下列命题中，正确的是()A四个角都相等的四边形一定是正方形B菱形的对角线不相等C矩形的对角线不能互相垂直D平行四边形的对角线可以互相垂直10(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动
9、这个四边形，使它形状改变，当B90时，如图1，测得AC2，当B60时，如图2，AC()图1图2A.B2C.D2二、填空题(每小题3分，共18分)11(大连中考)如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若BCO55，则ADO_12(眉山中考)如图，在ABCD中，AB3，BC5，对角线AC、BD相交于点O.过点O作OEAC，交AD于点E.连接CE，则CDE的周长为_13(安顺中考)如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，则DE的长为_14(三明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OAOC，OBOD，添加一个条件使四边形AB
10、CD是菱形，那么所添加的条件可以是_(写出一个即可)15已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是_16(宿迁中考)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PEPC的最小值是_三、解答题(共52分)17(8分)(广元中考)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且ABDE，AD，AFDC.(1)请写出图中两对全等的三角形；(2)求证：四边形BCEF是平行四边形18(8分)将平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点C与A重合，点D落到D处，折痕为EF.(1)求证：ABEADF；(2)连接CF，判断四边形A
11、ECF是什么特殊四边形？证明你的结论19(8分)(梅州中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.(1)求证：CECF；(2)若点G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？为什么？20(8分)已知，在ABC中，ABAC5，BC6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积21(10分)如图，在四边形ABCD中，ACBD6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求EG2FH2的值22(10分)已知AC是菱形ABCD的对角线，BAC60，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以
12、AE为边作菱形AEFG，并且使EAG60，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：ABCGCE.(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图2)，猜想AB、CG、CE之间的关系并证明；(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图3)，直接写出AB、CG、CE之间的关系参考答案例1(1)证明：BD垂直平分AC，ABBC，ADDC.BACBCA，DACDCA.BACDACBCADCA.BADBACDAC，BCDBCADCA，BADBCD.BCDADF，BADADF.ABFD.BDAC，AFAC，AFBD.四边形ABDF是平行四边形(2)四边形ABDF是平行四边形，ABDF，AFBD.AFDF5，ABBD5.设BEx，则DE5x，由题设得ACBD.AB2BE2AD2DE2，即52x262(5x)2.解得x.AE，AC2AE.例2(1)四边形BFEG是菱形理由如下：FG为BE的垂直平分线，BOEO，BOGEOF90.在矩形ABCD中，ADBC，GBOFEO.BOGEOF(ASA)BGEF.四边形BFEG是平行四边形又FGBE，平行四边形BFEG是菱形(2)当ABa，AD2a，DEa，AEa，BEa，OEa，设菱形BFEG的边长为x，AB2AF2BF2，a2(ax)2x2，解得xa.OFaa.FGa.(3)n6.理由：设ABx，则AD2x，DE，当时，可得BGx.
