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1、第二章 一元二次方程,5.一元二次方程的根与系数的关系,北师大版九年级数学上册,授课教师 陈淑萍 职 称： 中学高级 单 位：郑州市第四十五中,填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根为x1, x2，用式子表示你发现的规律.,1，1,2，-5,-1，-4,2,-3,-5,1,-10,4,数学活动,根与系数的关系,如果关于 的方程,的两根是 , ,则,如果方程二次项系数不为1呢?,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1、 x2,注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0.,归纳,韦达（15401
2、603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.,一元二次方程根与系数关系的证明：,x1+x2=,+,=,=,-,x1x2=,=,=,=,1.x2 - 2
3、x - 1=0,2.2x2 - 3x + =0,3.2x2 - 6x =0,4.3x2 = 4,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2= -,练一练,例1 已知3x2+2x-9=0的两根是x1 ，x2 , 求：,(1) (2) x12+x22.,【解析】,由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3.,(1),=,=,=,(2) (x1x2)2x12+x22 2x1x2,x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2,(- )2,-2(-3),典型例题,【解析】,方法一：设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4
4、-2(k+1)+3k=0,解k=-2.,即2x16，, x13.,答：方程的另一个根是3,k的值是2.,由根与系数的关系，得2x13k，,例2 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.,典型例题,方法二：,设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系，得,x12= k+1，,解方程组，得,x1 =3，,k =2.,答：方程的另一个根是3, k的值是2.,典型例题,【解析】,2x1 = 3k，,1.已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个 根及m的值.,巩固训练,【解析】设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,m=3x1=16.,又x11
5、= ,2.设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.,【解析】,由根与系数的关系，得,x1+x2=-2 , x1x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 = +1=,3.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1？,【解析】设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1., (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=,解得k1=9,k2= -3.,当k=9或-3时，b2-4ac0，k的值为9或-3.,4.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k
6、2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.,【解析】由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.,由x12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0, k2=4.,经检验，k2=4不合题意，舍去., k=0.,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1, x2,那么x1+x2= , x1x2=,-,通过本节课的学习，你有哪些收获？,小结,作业： 必做：课本51页，习题2.8 1,3题 选做：已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+ a=0的两个实数根,是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.,
