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1、第四章 因分解式3公式法（一）教学设计一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础学生活动经验基础： 通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验二、教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一
2、章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。学习目标：1知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性3情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。三、自学指导1、完成学案第1题。2、完成学案第2题，思
3、考它们是什么运算，用了什么公式,它们的结果有什么共同特征？。3、完成学案第3题，思考整式乘法和因式分解的关系。四、教学过程分析 本节课设计了八个教学环节：情景引入-复习回顾探究新知范例学习（当堂检测）拓展延伸巩固练习联系拓广自主小结第一环节 情景引入在美术课上，老师给每一个同学发下一张如左图形状的纸张，要求同学们在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能解决这个问题吗？能给出数学解释吗？第二环节 复习回顾活动内容： 2、填空： （1）（x+5）（x5） = ；（2）（3x+y）（3xy）= ；（3）（3m+2n）（3m2n）= 它们是什么运算，用了什么公式
4、,它们的结果有什么共同特征？3、尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系第三环节 探究新知活动内容： 观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a2b2=（a+b）（ab）1.整式乘法：平方差公式（a+b）（ab）=a2b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2b2=（a+b）（ab） （2）左边是一个多项式
5、，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？符合因式分解的定义，因此是因式分解.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。2.因式分解：平方差公式a2b2=（a+b）（ab） 请大家观察式子a2b2,找出它的特点.一个二项式，每项都可以化成整式的平方，平方项的符号相同.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x216=（x）242=（x+4）（x4）.9 m 24n2=（3 m ）2（2n）2=（3 m +2n）（3 m 2n）结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方
6、法。这种分解因式的方法称为运用公式法。活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法公式法。让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习。注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。当堂检测11、判断正误： （1）x2+y2=（x+y）(xy) ( ) （2）x2y2=（x+y）(xy) ( )（3）x2+y2=（x+y）(xy) ( ) （4）x2y2=（x+y）(xy) ( )第三环节 范例学习活动内容：例1：分解因式 16a
7、2-1 当堂检测2 例2、把下列各式因式分解（1）2516x2 （2）9a2利用平方差公式分解因式的步骤：1. 变形式 2. 定a , b 3 .写结果.活动目的：教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例。注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”第四环节 拓展延伸例3 :把下列各式分解因式(m n)2 (m n) 2 2x3 8x活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏注意事项：落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成
8、的目标最后一题分解因式强调分解需彻底。第五环节 能力提升变式训练例4、分解因式9(m n)2 (m n) 2 总结：首先提取公因式然后考虑用公式最终必是连乘式活动目的：进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。当堂检测3第六环
9、节 联系拓广教学内容：例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积活动目的：本讲解环节，旨在对因式分解进行实际应用问题讲解，同时设计了一道同类的同心圆面积的求解进而了解学生掌握情况。注意事项：在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来第七环节 自主小结活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察
10、能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；课后作业：完成课本习题4.4第1、2题.第八环节 巩固练习1 多项式分解因式的结果是( )A B C D2分解因式： =_ _3.若，则代数式 4已知三角形的三边长a，b，c,满足，试判断此三角形的形状。通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏
11、四、教学设计反思本节课学生的学习的目标为熟记因式分解的平方差公式，并能用这一公式分解因式。探索分解因式的方法实际上是对整式乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：前面刚刚学习了提公因式法分解因式。因为分解因式和整式乘法是互为相反的一种运算过程，所以在上节课讲提公因式法分解因式时就已强调了因式分解与整式乘法的不同。学生还是很容易混淆的，而且以往还经常出现学生先用因式分解的方法分解因式，然后有用整式乘法的方法进行计算，最后又回到了原题，而全然不觉的情况。所以本节课的另一个目标就是要分清整式乘法和因式分解的不同特点。1 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交
12、流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。2 有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质3保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。五、运用公式法平方差公式教学后反思运用公式法平方差公式是北师大版数学八年级下册第二章分解因式的第三节第一课时内容。本节课意在让学生主动地参与数学活动中来，并通过一系列探索性的问题，积极为学生创
13、设一个和谐、民主的情景，让学生轻松的学习本节内容。并取得了较好的效果。我觉的成功之处主要体现在以下几个方面：1、在新课引入的过程中，我首先让学生通过动手“剪一剪”“拼一拼”回答一个问题（用两种方法求剩余部分的面积）。接着就让学生观察上面两种方法得到的一个等式。然后，我就巧妙的提出了三个问题：(1)从右到左是什么？（2）从左到右是什么？（3）这种分解因式的方法是提取公因式法吗？只见我的题目一出来，学生就争先恐后地回答出来了。待学生回答完之后，我马上追问“这是用什么方法分解因式”时，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式。可以说，对新问题的引入，我是采
14、取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来，通过学生的讨论、讲解，以及练习的巩固逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。2、在快乐过关的最后联系与拓展中，我出了一道与生活紧密联系的问题，把课堂气氛推向了高潮。使学生再次体会到了数学源于生活，有应用于生活。3、在问题的讲解时，充分发挥了学生的主体作用。先让学生讨论，再让学生代表去讲解。不但培养了学生解决问题的能力、语言表达能力、以及团队协作能力。4、在课的最后，我留出了3分钟时间，让学生交流本节课的收获及存在的问题。这种交流是开放式的。整个课堂活动中，让学生人人参与，真正“活动”了起来，有放有收，收放有序，课堂活而不乱。尽管课前进行了充分的准备工作，但在教学过程中还存在着以下不足：1、再动手剪贴的过程中，忽视了对个别学生的辅导，导致个别学生没能演示成功。打击了他们学习的积极性。从课的开始就让他们带着真正的“问题”去学习。2、小组在讨论问题时，给学生留的时间太少。3、问题的设置缺少开放性、灵活性。如可以加一个问题“自己写两个多项式，然后利用
