2.7 二次根式第1课时 二次根式及其化简重点难点提示 本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据 1．二次根式的重要性质： 要注意以下问题： （1）因为被开方数a2≥0(非负数)，所以a可以取任意实数而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号若无法决定，要对其进行讨论 （2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号 2．的区别 （1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数 中的a可以是任何实数 （2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方而表示对实数a先平方，再开方 知识点精析 例1．判断下列各式是否正确 (1) (2) (3) (4) (5) 解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的 例2．化简 (1) (2) (-10, ∴ (2) ∵ -10, x-8<0. ∴ =|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7. (3) ∵ 0
∴ 原式= 说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式而正确去掉绝对值符号是化简的关键去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号此类问题，一般可分为两类第一类是不需要讨论直接化简属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题③给出明确的条件，如（2）小题第二类，需讨论后再化简当题目中给定的条件不能判定绝对值符号内代数式值的符号时，则需讨论后化简，如（4）小题 例3．已知a+b=-6, ab=5，求的值 解： ∵ ab=5>0 , ∴ a,b 同号， 又∵ a+b=-6<0, ∴ a<0, b<0 ∴ . 说明：此题中的隐含条件a<0,b<0不能忽视否则会出现错误 例4．化简： 解：原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5| 令x-6=0，得 x=6，令1+2x=0，得， 令x+5=0，得x=-5. 这样x=6, , x=-5，把数轴分成四段（四个区间）在这五段里分别讨论如下： 当x≥6时，原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2. 当时，原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10. 当时，原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12. 当x<-5时，原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2. 说明：利用公式，如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定 ，则需要讨论。
方法是：令每一个绝对值内的代数式为零，求出对应的“零点”，再用这些“零点”把数轴分成若干个区间，再在每个区间内进行化简。