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1、翻折问题一解答题（共1小题）1（2014西城区一模）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k0，n0），于是有E（0，n），F（，0），所以在RtEOF中，得到tanOFE=k，在RtAOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）请回答：（1）如图1，
2、若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线y=x+n折叠，求点A的坐标；（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围考点：一次函数综合题菁优网版权所有分析：（1）如图1，在RtEOF中，得到tanOFE=k，在RtAOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；（2）作OA的中垂线即可；（3）如图，设直线y=x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF
3、=2n，由AEFOEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由EAF=90可知1+3=90，从而求得1=2，得出DEAGAF所以=，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标（4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）；（2）如图所示：（3）如图，过点F作FGDC于GEF解析式为y=x+n，E点的坐标为（0，n），OE=nF点的坐标为（2n，0），OF=2nAEF与OEF全等，OE=AE=n，AF=OF=2n点A在DC上，且EAF=901+3=90又3+2=901=2在DEA与GAF中，DEAGAF（AA
4、）=FG=CB=6=DA=3A点的坐标为（3，6）（4）1k矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上，（1）当E点和D点重合时，k的值为1，（2）当F点和B点重合时，k的值为；1k点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会2（2015杭州模拟）将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是（）A6B16C2D4考点：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明AC=DC，此为解决该题的关键性结论；其次证明DE=4，进而得到BE=14；证明ABC为
5、直角三角形，运用射影定理求出BC，即可解决问题解答：解：如图，连接CD、AC，过点C作CEAB于点E；，CAB=DCB+DBC，ADC=DCB+DBC，CAB=ADC，AC=DC；CEAD，AE=DE=4，BE=4+10=14；AB为半圆的直径，ACB=90；由射影定理得：BC2=ABBE，BC=6故选A点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答3（2015杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能得到
6、一个直角三角形，且它的一个锐角等于30，这样的图形有（）A4个B3个C2个D1个考点：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有分析：如图，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明FBE=EBG（设为），此为解题的关键性结论；再次证明ABD=FBE=，求出=30；如图，首先运用翻折变换的性质证明MAB=60，求出BAC=60，进而得到ACB=，30，即可解决问题解答：解：如图，由题意得：ADCF，AC=BCDF=BF，EF为直角BDE斜边上的中线，EF=BF，FBE=FEB；而EFBC，FEB=EBG，FBE=EBG（设为）；由题意得：ABD=FBE=，而ABG=90，3=90，=30；如图，由题意得
7、：AN=AB=2AM，AMB=90，ABM=30，MAB=60；由题意得：NAC=BAC=60，ACB=9060=30，综上所述，有一个锐角为30的直角三角形有两个，故选C点评：该题以正方形为载体，主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键4（2015沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD，使BC与AD重合，折痕为EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点B，折痕BM交GH于点I若AB=4cm，则GI的长为
8、（）AcmBcmCcmDcm考点：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4，MN=MA（设为）；由勾股定理求得BQ=；在直角MNP中，由勾股定理列出关于的方程，求出；运用BGIBAM，列出关于GI的比例式，即可解决问题解答：解：如图，分别过点M、N作MPGH、NQBC于点P、Q；则MP=AG=3，NQ=BG=1，GN=BQ，GP=MA；由题意得：BN=BA=4，MN=MA（设为），由勾股定理得：BQ=，PN=；由勾股定理得：，解得：=；由题意得：GIAM，BGIBAM，GI=，故选D点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其
9、应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识点来分析、判断、解答7（2014路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：ABC=30；弧AC的长与弧OC的长相等； 弦BC的长为4；阴影部分的面积是，其中正确的个数是（）A1B2C3D4考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算菁优网版权所有专题：计算题分析：过点O作ODBC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由ODBC得BE=CE，再根据折叠的性质得到ED=EO，则OE=OB，则可根据含
10、30度的直角三角形三边的关系得OBC=30，即ABC=30；利用互余和等腰三角形的性质得BOD=COD=60，则可判断OCD为等边三角形，所以ODC=60，然后根据弧长计算可计算出弧OC的长=，弧AC的长=，即弧AC的长与弧OC的长相等；在RtOBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE=OE=2，则有BC=4；由于OC=OB，则弓形OC的面积=弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式和S阴影部分=S扇形OAC计算得到正确解答：解：过点O作ODBC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，ODBC，BE=CE，半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，ED=EO，OE=OB，OBC=3
11、0，即ABC=30，所以正确；BOD=COD=60，OCD为等边三角形，ODC=60，弧OC的长=，AOC=60，弧AC的长=，弧AC的长与弧OC的长相等，所以正确；在RtOBC中，OE=2，OBE=30，BE=OE=2，BC=2BE=4，所以正确；OC=OB，弓形OC的面积=弓形OB的面积，S阴影部分=S扇形OAC=，所以正确故选D点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了弧长公式和扇形的面积公式二解答题（共1小题）9（2014绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落
12、在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：DECEDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值考点：四边形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得DECEDA；（2）根据勾股定理即可求得（3）由矩形PQMN的性质得PQCA，所以，从而求得PQ，由PNEG，得出=，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得解答：（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=C
13、E，DC=EA，在ADE与CED中，DECEDA（SSS）；（2）解：如图1，ACD=BAC，BAC=CAE，ACD=CAE，AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4x，在RtADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x2=（4x）2，解得：x=，即DF=（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQCA又CE=3，AC=5设PE=x（0x3），则，即PQ=过E作EGAC于G，则PNEG，=又在RtAEC中，EGAC=AECE，解得EG=，=，即PN=（3x），设矩形PQMN的面积为S，则S=PQPN=x2+4x=+3（0x3）所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究
