《数学人教版八年级上册轴对称—最短路径问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学人教版八年级上册轴对称—最短路径问题(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、,轴对称最短路径问题,八年级 上册,点此播放教学视频,方 琪 汕头市达濠第二中学,引言: 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?,探索新知,点此播放
2、题解视频,精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗?,探索新知,追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?,将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线,探索新知,点此播放演示视频,(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;,探索新知,追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?,探索新知,追问2 你能用自己的语言说明这个问
3、题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?,(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图),追问1 对于问题2,如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB的长度 相等?,探索新知,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,追问2 你能利用轴对称的 有关知识,找到上问中符合条 件的点B吗?,探索新知,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是
4、直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,作法: (1)作点B 关于直线l 的对称 点B; (2)连接AB,与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?,证明:如图,在直线l 上任取一点C(与点C 不 重合),连接AC,BC,BC 由轴对称的性质知, BC =BC,BC=BC AC +BC = AC +BC = AB, AC+BC = AC+BC,探索新知,问题3 你能用所学
5、的知识证明AC +BC最短吗?,探索新知,问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?,证明:在ABC中, ABAC+BC, AC +BCAC+BC 即 AC +BC 最短,若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小,探索新知,追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C(与点C 不重合),证明AC +BC AC +BC?这里的“C”的作用是什么?,探索新知,追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的?,运用新知,练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返 回P 处,请画出旅游船的最短路径,运用新知,基本思路: 由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为 一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到 一点R,使PR与QR 的和最 小”,归纳小结,(1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用?,点此播放总结视频,教科书复习题13第15题,布置作业,点此播放讲课视频,