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1、专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程技法一巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上典例如图，F1
2、，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()ABC D解析由已知，得F1(，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a22，故a所以双曲线C2的离心率e答案D方法点拨本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点演练抛物线y24mx(m0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(m,0)，则的最小值为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义
3、，知|PF|xPm，又|PA|2(xPm)2y(xPm)24mxP，则2(当且仅当xPm时取等号)，所以，所以的最小值为答案：技法二设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解典例已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的标准方程为()A1 B1C1 D1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，得0，所以kAB又kAB，所以又9c2a2b2，解得b29，a218，所以椭圆E的方程为1答案D方法点拨本题设出
4、A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题对点演练过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，x1x22，y1y22，a22b2又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，即椭圆C的离心率e答案：技法三巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根
5、与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷典例(2016全国甲卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解设M(x1，y1)，则由题意知y10(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为因此直线AM的方程为yx2将xy2代入1，得7y212y0解得y0或y，所以y1因此AMN的面积SAMN2(2)由题意知t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1，得
6、(3tk2)x22tk2xt2k23t0由x1()，得x1，故|AM|x1|由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此tt3等价于0，即0因此得或解得k2故k的取值范围是(，2)方法点拨本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x1，这体现了整体思路这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量对点演练(2016兰州实战考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的内切圆
7、半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解：(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c21，故所求椭圆方程为1(2)由(1)可知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，代入椭圆方程，整理得(43t2)y26ty90，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AF2B的内切圆半径为r0，则有y1y2，y1y2，r0，所以SAF2BSAF1F2SBF1F2|F1F2|y1y2|F1F2|而SAF2B|AB|r0|BF2|r0|AF2|r0r0(|AB|BF2|AF2|)r0(|AF1|BF1|BF2|AF2|)r04a8，所以，解得t2
8、1，因为所求圆与直线l相切，所以半径r，所以所求圆的方程为(x1)2y22技法四借“曲线系”，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一典例已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1解析由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，可设双曲线的方程为x2(0)因为双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6,0)是双曲线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为1答案B方法点拨本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到
9、解决避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍对点演练圆心在直线xy40上，且经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点的圆的方程为()Ax2y2x7y320Bx2y2x7y160Cx2y24x4y90 Dx2y24x4y80解析：选A设经过两圆的交点的圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0，即x2y2xy0，其圆心坐标为，又圆心在直线xy40上，所以40，解得7，故所求圆的方程为x2y2x7y320技法五巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难
10、为易，达到事半功倍常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件典例设椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|解法一：依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件，得消去y0并整理，得x由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，
11、所以|k|法二：依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，得1因为ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)a2，解得k23，所以|k|法三：设P(acos ，bsin )(02)，则线段OP的中点Q的坐标为|AP|OA|AQOPkAQk1又A(a,0)，所以kAQ，即bsin akAQcos 2akAQ从而可得|2akAQ|a，解得|kAQ|故|k|方法点拨求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量对点演练(2016
12、长春市质量检测)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，F1PF2面积的最大值为(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连接A1A，A1B并延长分别交直线x4于R，Q两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：(1)已知椭圆的离心率为，不妨设ct，a2t，则bt，其中t0，当F1PF2面积取最大值时，点P为短轴端点，因此2tt，解得t1，则椭圆的方程为1(2)由(1)可知F2(1,0)，A1(2,0)设直线AB的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(3m24)y26my90，则y1y2，y1y2，直线AA1的方程为y(x2)，直线BA1的方程为y(x2)，则R，Q，则999将两式代入上式，整理得0，即为定值0电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究
