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1、第三讲 正方形的性质与判定1、 知识要点1 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等2角的性质：四个角都是直角3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方形5：一组邻边相
2、等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、 典型例题例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PEBC于E，作PFCD于F试说明APEF分析：由PEBC，PFCD知，四边形PECF为矩形，故有EFPC，这时只需证APCP，由正方形对角线互相垂直平分知APCP解：连结AC、PC，四边形ABCD为正方形，BD垂直平分AC，APCPPEBC，PFCD，BCD90，四边形PECF为矩形，PCEF，APEF注意：在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中思考：由上述条件是否可以得到APEF提示：可以，延长A
3、P交EF于N，由PEAB，有NPEBAN又BANBCP，而BCPPFE，故NPEPFE，而PFEPEF90，所以NPEPEF90，则APEF例2 如图12-2-15，ABC中，ABC90，BD平分ABC，DEBC，DFAB，试说明四边形BEDF是正方形解：ABC90，DEBC，DEAB，同理，DFBC，BEDF是平行四边形BD平分ABC，DEBC，DFAB，DEDF又ABC90，BEDF是平行四边形，四边形BEDF是正方形思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BEDE，可得另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90可得)注意：灵活选择正方形的识
4、别方法例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，求BEC的大小分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系在(1)图中，ABE和DCE都是等腰三角形，顶角都是150，可得底角AEB与DEC都是15，则BEC为30而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，ABE和DCE是等腰三角形，顶角是30，可得底角AEB和DEC为75，再利用周角可求得BEC150解：(1)当等边ADE在正方形ABCD外部时，ABAE，BAE9060150，所以AEB15同理可得DEC15，则BEC
5、60151530(2)当等边ADE在正方形ABCD内部时，ABAE，BAE906030，所以AEB75同理可得DEC75，则BEC360757560150【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形【命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现【常见错误分析】已知如图12-2-18，ABC中，C90，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HMBA的延长线于M，DKAB的延长线于K试说明ABDKHM错解
6、：延长DK到S，使KSHM，连结SB23，2490，3490在ABC和SDB中，ACBSBD90，BCBD，29045ABC与SDB重合，ABSDSKDK，即ABHMDK分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以23的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KSMH在ACB和SBD中，BDBC，SBDACB90，又235，ACB与SBD重合，ABDS，BSACAH在BKS和AMH中，123，AMHSKB90，BSAH，BKS与AMH重合，KSHM，ABDKHM【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又
7、是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分3、 作业 正方形的判定一选择题（共8小题）1已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A选 B选 C选 D选2下列说法中，正确的是（）A相等的角一定是对顶角B四个角都相等的四边形一定是正方形C平行四边形的对角线互相平分D矩形的对角线一定垂直3下列命题中是假命题的是（）A一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B一组对边相等且
8、有一个角是直角的四边形是矩形C一组邻边相等的平行四边形是菱形D一组邻边相等的矩形是正方形4已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）当AB=BC时，它是菱形；当ACBD时，它是菱形；当ABC=90时，它是矩形；当AC=BD时，它是正方形A1组 B2组 C3组 D4组5四边形ABCD的对角线AC=BD，ACBD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）A正方形 B菱形 C矩形 D任意四边形6如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）AAB=AD且ACBDBAB=AD且AC=BD CA=B且AC=BD
9、DAC和BD互相垂直平分7下列命题中，真命题是（）A对角线相等的四边形是矩形B对角线互相垂直的四边形是菱形C对角线互相平分的四边形是平行四边形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形8如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）ABC=ACBCFBFCBD=DFDAC=BF二填空题（共6小题）9能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_（填上一个符合题目要求的条件即可）10如图，在RtABC中，C=90，DE垂直平分AC，DFBC，当ABC满足条件_时，四边形DECF是正方形 （要求：不再添加任何
10、辅助线，只需填一个符合要求的条件）11如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_，使得该菱形为正方形12如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_13已知四边形ABCD中，A=B=C=90，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_14要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为_三解答题（共8小题）15已知：如图，ABC中，ABC=90，BD是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F求证：四边形DEBF是正方形16如图，在四边形ABCD中，AB=
11、BC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M，N（1）求证：ADB=CDB；（2）若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形17如图，在RtABC中，ACB=90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由18如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将ADE绕点E旋转180得到CFE（1）求证：四边形ADC
12、F是平行四边形（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由19如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DEAC于点E，DFBC于点F（1）求证：AEDBFD；（2）若AB=2，当CD的值为_时，四边形DECF是正方形20如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作MEA C，MFAD，垂足分别为E、F（1）求证：CAB=DAB；（2）若CAD=90，求证：四边形AEMF是正方形21如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC，设MN交ACB
13、的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处时，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）22已知：如图，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNAC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE、AF（1）求证：ECF=90；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下，ABC应该满足条件：_，就能使矩形AECF变为正方形（直接添加条件，无需证明）参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（
