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1、信号与系统习题答案（注：教材-郑君里编） 习题二 2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。 图(a)：微分方程： 1 1 2 2 2 0 12 ( ) 2 ( ) 1( )( ) ( ) 2( )( ) ( ) ( )2 ( ) ( )( ) c c c di t i tu te t dt di t i tu t dt di t u t dt du t i ti t dt + += += = = 图（b） ：微分方程： = =+ =+ 20 2 1 2 2 1 2 11 )( 0 1 )( 1 Ritv RiMiLidti C teRiMiLidti C )()( 1 )( 2
2、)() 2 ()(2)()( 3 3 0 2 00 2 2 2 0 3 3 0 4 4 22 te dt d MRtv C tv dt d C R tv dt d C L Rtv dt d RLtv dt d ML=+ 图(c)微分方程： dti C iLtv = 2 1 1 10 1 )( = = = dttv L i tv L i dt d tv L i dt d )( 1 )( 1 )( 1 0 1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 )( 1 2 2 111213 ti dt d LCiiii+=+= )(0( 1 1 1 0 1 0 11 0 2 2 1 1 0 3 3 1 te d
3、t d R tv RL v dt d RRL C v dt d R C R C v dt d CC =+ 图(d)微分方程： += += )()()( )()( 1 )()( 11 111 tetRitv tvdtti C tRite RC v dt d1 )1 ( 1+ )( 1 1 teV CR = v )()( 10 tvt= )()( 1 )1 ( 0 0 te R v tv R Cvv=+ 2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的 0+状态条件，求系统的零输入响应。 （1） 2)0(, 1)0( 0)(2)(2)( 2 2 =+ + rrtrtr dt d tr dt d 给定： ；
4、 特征方程： 022 2 =+ 特征根： += 1 1 j = 1 2 j 零输入响应： tt eAeAtr 21 21 )( += 代入初始条件， 2A 1 21 =A r )sin3(cos2)( 21 tteeet ttt =+= （2） 2)0(, 1)0( 0)()(2)( 2 2 =+ + rrtrtr dt d tr dt d 给定： ； 特征方程： 012 2 =+ 特征根： 1 21 = 零输入响应： t eAtAtr +=)()( 21 代入初始条件， 1A 3 21 =A t ettr +=) 13()( （3） 1)(0, 0)0()0( 0)()(2)( “ 2 2
5、3 3 =+ + rrrtr dt d tr dt d tr d 给定： dt 特征方程： 02 23 =+ 特征根： 1 21 = 0= 零输入响应： 321 )()(AeAtAtr t += 代入初始条件， 1A 1A 321 =A r t ett +=) 1(1)( 2-5 给定系统微分方程、起始状态以及激励信号分别为以下三种情况： （1） )()(, 0_)0(),()(2)(tutertetrtr dt d =+ （2） )()(, 0_)0(),(3)(2)(tuterte dt d trtr dt d =+ （3） )()(, 1_)0(, 1_)0(),()(4)(3)(2 2
6、 2 tuterrte dt d trtr dt d tr dt d =+ 试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1） （2）分别写出其 r(0+)值，对（3）写出 r(0+) 和 r(0+)值。 (1) (1) 由于方程右边没有冲激函数 )(t 及其导数，所以在起始点没有跳变。 0)r(0)r(0 - = + (2) )()( d )(3)(2)(tte dt te dt d trtr dt d =+Q ， 即方程右边有冲激函数 )(t 设： )()()(tubtatr dt d += )()(tuatr= 则有： )(3)(2)()(ttuatubta=+ -6b 3,a = 3)0()r(
7、0 =+= + ar (3) )()( dt d )()(4)(3)(2 2 2 ttete dt d trtr dt d tr dt d =+Q 即方程右边含有 )(t 设： )()()()( 2 2 tuctbtatr dt d += )()()(tubtatr dt d += )()(tuatr= 则有：2 )()(4)(3)(3)(2)(2)( ttuatubtatuctbta=+ 4 3 c 2 1 b 0a = 1)0()0(=+= + arr 2 3 )0()0( =+= + brr 2-7 电路如图所示，t=0 以前开关位于“1” ，已进入稳态，t=0 时刻，S1和 S2同时自
8、“1” 转至“2” ，求输出电压 v0(t)的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫各响应分 量（E 和 IS各为常量） 。 题图 2-7 解：t时刻，u = 0)0()0( 0 =vE c )()( )( )( )( 0 0 tutv tuI R tv tpCu c sc = =+ 系统微分方程： )()( 1 )( 00 tuItv R tv dt d C s =+ 零状态响应： )()()()()( 11 1 tuRIeRItuBeAtr s t RC s t RC zi +=+= 零输入响应： )()()( 11 2 tuEetueAt t RC t RC zs =r 完全响应：
9、 ()()()(=+=trtrtr zszi t RC Ee 1 )() 1 tuRIeRI s t RC s + 2-8 电路如图所示，时，开关位于“1”且已达到稳定状态， 0t 0)(=tr )2( )2()()()(r(t) )2(2 02 )(2)(2 += tuetudxetudxe t tt tt 0)2()( )2(2 2 0 )(2 =+= tuedxe tt dxee)( 2 0 24 = 2-23 化简下列两式： （1） ) 2 1 2( 2 t ； 令 0 2 1 2)( 2 =ttf 则：2 1 t 2 1 21 =t 2)(f 2)( 2 1 =ttf ) 2 1 (
10、) 2 1 ( 2 1 ) 4 1 ( 2 1 )( )( 1 ) 2 1 2( 2 2 1 2 += = ttttt tf t i i i （2） )(sint 。 令 2, 1, 0,(k 0sin=ktt ） + = - )k-(t(sint) 2-27 试求下列各值，设系统起始状态为零： （1） )(t p A + （2） )( )( 2 t p A + （3） )( )( t pp A + 解： （1） )()(tuAet p A t = + （2） )()( 0 )( )( )( 22 tuAtet pp A t p A t = + + + = + （3） )( )( t pp A +( = )()()() 11 (tuee A t pp A tt = + +
