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1、正、余弦函数图象与性质的复习回顾湖南祁东育贤中学 周友良 衡阳县三中 曾新华一.基础知识回顾1y=sinx，xR和y=cosx，xR的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数yxo1-1y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)3.图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RR值域 最大值为1，最小值为-1 最大值为1，最小值为-1R无最大值，最小值周期性最小正周期为最
2、小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上都是增函数；在上都是减函数（kZ）在（）上都是增函数；在都是减函数在（上都是增函数对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标，以上的既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标为，以上的是中心对称图形对称中心坐标,(kZ)二、讲解范例：例1 求函数ysin的单调增区间误解：令ysin在2k，2k(kZ)上递增2k2k解得4kx4k2原函数的单调递增区间为4k，4k2(kZ)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令，忽视了是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令，则u是x的减函数又ysin在2k，2k(k
3、Z)上为减函数，原函数在2k，2k(kZ)上递增设2k2k解得4k2x4k(kZ)原函数在4k2，4k(kZ)上单调递增解法二：将原函数变形为ysin因此只需求siny的减区间即可为增函数只需求sin的递减区间2k2k解之得：4k+2x4k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4k2，4k4(kZ)例2 a、b是不相等的正数求y的最大值和最小值解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)y2acos2xbsin2x2asin2xbcos2xabab，(ab)20，0sin22x1当sin2x1时，即x(kZ)时，y有最大值；当sinx0时，即x (kZ)时，y有最小值评析
4、:利用三角函数的有界性如sinx1，cosx1来求三角函数的最值例3 在0x条件下，求ycos2xsinxcosx3sin2x的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y2sin2x32(cos2xsin2x)12 (cos2xcossin2xsin)12cos(2x)10x，2xcos(2x)在0，）上是减函数故当x0时有最大值当x时有最小值1cos(2x)在，上是增函数故当x时，有最小值1当x时，有最大值综上所述，当x0时，ymax1当x时，ymin21评析:如果f(x)在，上是增函数，则f(x)在，上有最大值f()，最小值f()；如果f(x)在，上是减函数，则f(x)在，上有最
5、大值f()，最小值f()例4求f(x)sin4x2sin3xcosxsin2xcos2x2sinxcos3xcos4x的最大值和最小值解：f(x)(sin2xcos2x)22sin2xcos2x2sinxcosx(sin2xcos2x)sin2xcos2x=12sinxcosxsin2xcos2x令sin2x f()122(1)22 在的范围内求的最值当，即xk(kZ)时，f(x)max当，即xk(kZ)时，f(x)min评析:利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例5.对函数y=lg(2sinx)，回答下列问题（1）求定义域； （2）当x分别为何值时，y=0、y最大，
6、并求出（3）当x从0逐渐增加到时，函数怎样变化？（4）y是否是周期函数，若是求其周期。分析与解答：（1）根据对数函数的性质，须真数2sinx0解得，所以函数的定义域为。（2）要使y=0，须2sinx=1，解得或。当或时，y=0。令u=2sinx，则y=lgu，函数y=lgu在区间上是增函数，当sinx=1,u=2sinx=2时y最大。（3）令u=2sinx，则y=lgu，函数y=lgu在区间上是增函数，当x由0逐渐增加到时，u=2sinx由0增加到2，y=lgu由增加到lg2。当x由逐渐增加到时，u=2sinx由2减小到0，y=lgu由lg2减小到。（4）lg,y=lg(2sinx)是周期函数
7、，且周期与函数sinx的相同，周期T=2例6 试判断下列各函数的奇偶性：解 （1）的定义域，因为所以是奇函数。（2）先考虑函数的定义域：即有，因此，定义域关于原点不对称，函数无奇偶性。例如令无意义，因此，并且，故是非奇非偶函数。小结 研究函数性质之前应考虑函数的定义域。处理有关函数问题时，化简必须是等价变换，否则可能发生错误。例如：由于函数是奇函数得出原函数也是奇函数的错误结论，事实上，最后的约分步骤破坏了变换的等价性，sincos0的限制被取消是导致错误的根本原因。电子邮箱周友良 ,手机号码；湖南祁东育贤中学 周友良 衡阳县一中 谭云峰推进学校内涵建设深化年各项工作和“三乐两校”主题教育活动的开展，进一步繁荣校园文化，搭建具有时代特征大学生特点的文化艺术活动平台，促进学院间师生的友谊
