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1、【知识拓展】收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：证明：假设数列有两个极限a与b，即与，根据数列极限定义，对于任意的0分别有：存在自然数当时，有；存在自然数，当时，有取，当nN时，同时有与，于是当nN时，有因为a与b是常数，2是任意小的正数，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列的极限是惟一的定理2：（有界性）若数列收敛，则有界，即存在正数M，对任意自然数n有证明：设，根据数列极限的定义，取定（可以根据需要任意选取），存在自然数N，当nN时，有因为，所以当nN时，有或即在数列中不满足不等式的项充其量不过是前N项：.令于是，对任意自然数n，有定理2指出收敛的数列必有界反之，有界数
2、列不一定收敛例如，已知数列是有界的，但它却是发散的换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件2什么是有界数列?定义：若存在两个数A，B(设A0)都是的上界这表明上界并不是惟一的，下界也是如此(2)对于数列，如果存在正整数N，当nN时，总有,我们就说数列往后有界要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，那么min(A，)和max(B，)就是整个数列的下界和上界(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M，使得，就称是有界数列或者也可以这么说，若存在原点的一个M邻域(O，M)，使得所有，就称是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义
3、显然是等价的3什么是单调有界数列?设是一个数列，如果我们就说这个数列是单调增加(上升)的如果我们就说这个数列是单调减少(下降)的例如就是一个单调减少的数列如果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的4数列的收敛判别法有哪法?方法1若存在自然数N，当nN，总有，且，则注：方法1被称为夹挤定理例1 计算思路启迪只要找到两个数列与，使则规范解法 方法2单调有界数列存在极限例2 证明数列收敛，并求它的极限思路启迪 首先对于这种随n的增大，数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界这样该数列必存在极限可以设极限为，则根据第n+1项与第n项的关系列出关于的等式就可
4、以求出规范证法 设有，用归纳法证明数列是单调增加的，又是有上界的显然，设(k是自然数)有，即，则数列是单调增加的显然，当n=1时，有设n=k时，有当n=k+1时，也有，即数列是有上界的由于数是单调增加的并且有上界，所以数则收敛设，已知,有即，得，由可知，不能是负数，则数列的极限是5函数极限有哪些性质和数列极限性质完全相仿，函数极限也具有以下几个性质：性质1若，且AB，则存在0，使当时，f(x)g(x)证明：取那么存在当时，有；同时又存在，当时，有，现在，令，那么当时，就有性质2若且存在0，使当时，f(x)B(A0，使当时,f(x)B(f(x)B，由性质1知道，存在0，当时，有f(x)f(x)矛
5、盾，这就证明了A=B性质5若存在0，使当时，f(x)g(x)h(x)，并且则性质6(局部有界性)若，则存在着0，使得f(x)在区间和内有界，亦即在不等式所表示的区间内有界注：若函数f(x)在某个区间Z内满足Af(x)B，其中A，B是两个常数，我们称f(x)在Z内有界，并称A是f(x)在Z内的下界，B是f(x)在Z内的上界显然，对任何0，A-都是f(x)的下界，同样对任何0，B+都是f(x)的上界这个定义也可以这样叙述：设函数f(x)在某个区间Z内满足|f(x)|M，其中M是一个正实数，我们就称f(x)在Z内有界以上两种说法显然是等价的证明：取个固定的，譬如说取=1，由知道，存在0，当时，有A-
6、1f(x)0，在(1-，1)和(1，1+)内，有界但是这个函数在它的定义域内有，它的图形是一条抛物线，但除去x=1，可见在(-，1)和(1，+)内是无界的6连续函数有哪些性质?若函数f(x)和g(x)均在点处连续，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)/g(x)在点处也连续若函数y=f(u)在点处连续，在点连续，且，则复合函数在点连续若函数y=f(x)在区间a，b上单调、连续，且f(a)=，f(b)=，则其反函数在区间，或，上单调、连续基本初等函数(包括幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数与对数函数)在它们各自的定义域上皆连续.由函数在一点处连续的定义及，有这就是说，对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换，例 求思路启迪 由于函数y=sinx是初等函数，所以它在其定义域(-，+)上是连续函数，这样就可以利用这个等式规范解法 因已知y=sinx在实数域上的任意一点都连续，所以有有时我们只讨论函数f(x)在的左侧或右侧的连续情况，有下面的左、右连续的概念：定义：若，称函数f(x)在左连续若，称函数f(x)在右连续显然，函数f(x)在连续的充分必要条件是，函数f(x)在既左连续又右连续推进学校内涵建设深化年各项工作和“三乐两校”主题教育活动的开展，进一步繁荣校园文化，搭建具有时代特征大学生特点的文化艺术活动平台，促进学院间师生的友谊
