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1、1高中高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2、集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性；(2)元素的互异性；(3).元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性
2、和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员， 太平洋 ,大西洋, 印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a A集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。(2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号
3、内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是xR| x-32或x| x-324、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2= 5二、集合间的基本关系1.“包含”关系 子集注意： 有两种可能（1 ） A 是 B 的一部分，；（2 ）A 与 B 是同一集合。2反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2“相等”关系 (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B
4、=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义 ：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,
5、叫做 A,B 的交集记作 AB(读作 ”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 x B2、并集的定义 ：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|x A，或 xB 3、交集与并集的性质： AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： 即 CSA =x | x S 且 x A（2）全集：如果集合 S 含
6、有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（3）性质： CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U二、函数的有关概念1 函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：31 如果只给出解析式 y=f(x
7、)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（ 6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .(又注意：求出不等式组的解集即为
8、函数的定义域。构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)值域补充(1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(
9、1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y) 均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(
10、x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）4常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2 ）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集
11、合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B 中的每一个元素在集
12、合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左
13、大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集5补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单
14、调增区间（清楚课本单调区间的概念）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2 ；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3
15、).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2) ；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）(B)图象法 (从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（1）偶函数6一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称总结：
